Question

16．已知函數f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）-2cosx，x∈[$\frac{π}{2}$，π]．
（1）若sinx=$\frac{4}{5}$，求函數f（x）的值；
（2）求函數f（x）的值域和對稱軸．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數f（x），根據x∈[$\frac{π}{2}$，π]時sinx的值求出f（x）的值；
（2）根據f（x）的解析式求出x∈[$\frac{π}{2}$，π]時的值域，求出f（x）在x∈[$\frac{π}{2}$，π]內對稱軸是x=$\frac{2π}{3}$．

解答 解：（1）函數f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）-2cosx
=2sinxcos$\frac{π}{6}$+2cosxsin$\frac{π}{6}$-2cosx
=$\sqrt{3}$sinx-cosx
=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
由x∈[$\frac{π}{2}$，π]，且sinx=$\frac{4}{5}$，
∴cosx=-$\sqrt{1{-sin}^{2}x}$=-$\frac{3}{5}$；
∴函數f（x）=$\sqrt{3}$sinx-cosx
=$\sqrt{3}$×$\frac{4}{5}$-（-$\frac{3}{5}$）
=$\frac{4\sqrt{3}+3}{5}$；
（2）由函數f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$），x∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）在x∈[$\frac{π}{2}$，π]的值域是[1，2]；
且f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）對稱軸是x=kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
x∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴對稱軸是x=$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查了三角函數的化簡與求值問題，也考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題．