Question

8．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長度單位，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tsinφ}\\{y=2+tcosφ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0＜φ＜π），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=8sinθ．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)φ變化時(shí)，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接消去直線l的參數(shù)可得普通方程；根據(jù)ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）將直線l的參數(shù)方程帶入C的直角坐標(biāo)方程；設(shè)出A，B兩點(diǎn)的參數(shù)，利用韋達(dá)定理建立關(guān)系求解最值即可．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tsinφ}\\{y=2+tcosφ}\end{array}\right.$消去參數(shù)可得：xcosφ-ysinφ+2sinφ=0；
即直線l的普通方程為xcosφ-ysinφ+2sinφ=0；
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=8sinθ．可得：ρ²cos²θ=8ρsinθ．
那么：x²=8y．
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²=8y．
（2）直線l的參數(shù)方程帶入C的直角坐標(biāo)方程，可得：t²sin²φ-8tcosφ-16=0；
設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂，
則${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{8cosφ}{si{n}^{2}φ}$，${t}_{1}{t}_{2}=\frac{16}{si{n}^{2}φ}$．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{8}{si{n}^{2}φ}$．
當(dāng)φ=$\frac{π}{2}$時(shí)，|AB|取得最小值為8．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，以及利用平面幾何知識(shí)解決最值問題．利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系．