Question

17．拋物線M的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，拋物線M的焦點(diǎn)F在x軸正半軸上，拋物線M的準(zhǔn)線與曲線x²+y²-6x+4y-3=0只有一個公共點(diǎn)，設(shè)A是拋物線M上的一點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AF}$=-4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（　�。�

• A． （-1，2）或（-1，-2）
• B． （1，2）或（1，-2）
• C． （1，2）
• D． （1，-2）

Answer 1

分析 先求出拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），根據(jù)拋物線的方程設(shè)A（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），則$\overrightarrow{OA}$=（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），$\overrightarrow{AF}$=（1-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，-y₀），再由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AF}$=-4，可求得y₀的值，最后可得答案．

解答 解：x²+y²-6x+4y-3=0，可化為（x-3）²+（y+2）²=16，圓心坐標(biāo)為（3，-2），半徑為4，
∵拋物線M的準(zhǔn)線與曲線x²+y²-6x+4y-3=0只有一個公共點(diǎn)，
∴3+$\frac{p}{2}$=4，∴p=2．
∴F（1，0），
設(shè)A（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀）
則$\overrightarrow{OA}$=（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），$\overrightarrow{AF}$=（1-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，-y₀），
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AF}$=-4，∴y₀=±2，∴A（1，±2）
故選B．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，屬于中檔題．