Question

12．已知拋物線y²=ax（a＞0），經(jīng)過焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線的方程．

Answer 1

分析 依題意，可求得過焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線方程為y=-x+$\frac{a}{4}$，利用拋物線的定義結(jié)合題意可求得a，從而可求得拋物線方程．

解答 解：依題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{a}{4}$，0），則直線方程為y=-x+$\frac{a}{4}$．設(shè)直線交拋物線于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，過A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C、D
則由拋物線定義得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x₁+$\frac{a}{4}$+x₂+$\frac{a}{4}$
即x₁+$\frac{a}{4}$+x₂+$\frac{a}{4}$=8．①
又A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是拋物線和直線的交點(diǎn)，
由直線與拋物線消去y，得x²-$\frac{3a}{2}$x+$\frac{{a}^{2}}{16}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{3a}{2}$．
將其代入①得a=4，
∴所求拋物線方程為y²=4x．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，突出拋物線定義的應(yīng)用，考查方程組思想與化歸思想的綜合運(yùn)用，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．