Question

已知a是不為0的常數(shù)，函數(shù)f（x）=

1

a

-

1

x

．
（1）判定并說(shuō)明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）若f（x）在[

1

2

，2]上的值域是[

1

2

，2]，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再計(jì)算f（-x）是否等于±f（x），即可判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性定義，注意作差、變形、判斷符號(hào)等步驟，即可得證；
（3）由（2）得到f（x）在[

1

2

，2]上單調(diào)遞增，再由條件代入函數(shù)式，即可a．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)．
理由如下：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
但f(-x)=

1

a

+

1

x

≠f(x)，所以f（x）不是偶函數(shù)，
又f（-x）≠-f（x），故f（x）也不是奇函數(shù)．
綜上知函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）證明：設(shè)x₂＞x₁＞0，則x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
f（x₂）-f（x₁）=（

1

a

-

1

x2

）-（

1

a

-

1

x1

）=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增的．
（3）由于f（x）在[

1

2

，2]上單調(diào)遞增，
f（x）在[

1

2

，2]上的值域是[

1

2

，2]，
∴f（

1

2

）=

1

2

，f（2）=2，即有

1

a

-2=

1

2

，

1

a

-

1

2

=2，
解得a=

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性的判斷，以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用：主要求值域，屬于中檔題．