Question

12．已知：
1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$
1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$＞2
1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{8}$＞$\frac{5}{2}$
1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{16}$＞3
…
以此類推，寫出一般的結論并加以證明．

Answer 1

分析 由歸納猜想可知1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≥$\frac{2+n}{2}$，從而利用數學歸納法證明．

解答 解：由歸納法可知，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≥$\frac{2+n}{2}$，
證明如下，
當n=1，2，3，4時，上式顯然成立；
假設當n=k，（k∈N^*）時成立，
即1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$≥1+$\frac{k}{2}$，
1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
≥1+$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
≥1+$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
=1+$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{2+k+1}{2}$；
故n=k+1時也成立；
故1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≥$\frac{2+n}{2}$成立．

點評 本題考查了歸納法的應用分類討論的思想應用．