Question

4．已知動圓P與圓$E：{（{x+\sqrt{3}}）^2}+{y^2}=25$相切，且與圓$F：{（{x-\sqrt{3}}）^2}+{y^2}=1$都內(nèi)切，記圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）直線l與曲線C交于點A，B，點M為線段AB的中點，若|OM|=1，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）確定|PE|+|PF|=6＞2$\sqrt{3}$，可得P的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點的橢圓，且a=3，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{6}$，即可求C的方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理及中點坐標公式，即可求得M點坐標，由|OM|=1，可得n²=$\frac{（4+{m}^{2}）^{2}}{16+{m}^{2}}$，由三角形面積公式，結合換元、配方法即可求得△AOB面積的最大值．

解答 解：（1）設動圓P的半徑為r，由已知|PE|=5-r，|PF|=r-1，
則有|PE|+|PF|=4＞2$\sqrt{3}$，
∴P的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點的橢圓，且a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1
∴曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）設直線l：x=my+n，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入橢圓方程，整理得：（4+m²）y²+2mny+n²-4=0①
y₁+y₂=-$\frac{2mn}{4+{m}^{2}}$，y₁•y₂=$\frac{{n}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{8n}{4+{m}^{2}}$，
由中點坐標公式可知：M（$\frac{4n}{4+{m}^{2}}$，-$\frac{mn}{4+{m}^{2}}$）
∵|OM|=1，
∴n²=$\frac{（4+{m}^{2}）^{2}}{16+{m}^{2}}$②，…（8分）
設直線l與x軸的交點為D（n，0），
則△AOB面積S²=$\frac{1}{4}$n²（y₁-y₂）²=$\frac{48（{m}^{2}+4）}{（16+{m}^{2}）^{2}}$
設t=m²+16（t≥16），
則S²=48（$\frac{1}{t}-\frac{12}{{t}^{2}}$），當t=24時，即m=0時，
△AOB的面積取得最大值1…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，直線與橢圓的位置關系，韋達定理，及三角形面積公式，考查計算能力，屬于中檔題．