Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1（a＞0），g（x）=lnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．設函數(shù)h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），討論h（x）零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （I）令f′（x）=0求出f（x）的極值點，得出f（x）的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，從而得出f（x）的極值；
（II）對x和a的范圍進行討論得出f（x），g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，利用單調(diào)性及最值判斷f（x），g（x）的零點個數(shù)，從而得出h（x）的零點個數(shù)．

解答 解：（ I）f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=$\frac{2}{a}$．
∵a＞0，x₁＜x₂，
f′（x）及f（x）符號變化如下，

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{2}{a}$）	$\frac{2}{a}$	（$\frac{2}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴f（x）的極大值為f（0）=1，極小值為f（$\frac{2}{a}$）=$\frac{8}{{a}^{2}}$-$\frac{12}{{a}^{2}}$+1=-$\frac{4}{{a}^{2}}$+1．
（ II）令g（x）=lnx=0，得x=1．
當0＜x＜1時，g（x）＜0；x=1時，g（x）=0；當x＞1時，g（x）＞0．
（1）當x＞1時，g（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上無零點．
所以h（x）=max{f（x），g（x）}在（1，+∞）上無零點．
（2）當x=1時，g（1）=0，
所以1為g（x）的一個零點．
f（1）=a-2，
①當a=2時，1是f（x）的一個零點．
所以當a=2時，h（x）=max{f（x），g（x）}有一個零點．
②當0＜a＜2時，h（x）=max{f（x），g（x）}有一個零點．
③當a＞2時，h（x）=max{f（x），g（x）}無零點．
（3）當0＜x＜1時，g（x）＜0，g（x）在（0，1）上無零點．
所以h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，1）上的零點個數(shù)就是f（x）在（0，1）上的零點個數(shù)．
當a＞0時，由（ I）可知f（x）在（0，$\frac{2}{a}$）上為減函數(shù)，在（$\frac{2}{a}$，+∞）上為增函數(shù)，
且f（0）=1，f（1）=a-2，f（$\frac{2}{a}$）=-$\frac{4}{{a}^{2}}$+1=$\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}}$．
①當$\frac{2}{a}＞1$，即0＜a＜2時，f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，且f（1）=a-2＜0，f（0）=1＞0．
所以f（x）在（0，1）上有1個零點，即h（x）有1個零點．
②當$\frac{2}{a}=1$，即a=2時，f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，且f（1）=a-2=0，
所以f（x）在（0，1）上無零點，即h（x）無零點．
③當$\frac{2}{a}＜1$，即a＞2時，f（x）在（0，$\frac{2}{a}$）上為減函數(shù)，在（$\frac{2}{a}$，1）上為增函數(shù)，
f（$\frac{2}{a}$）=-$\frac{4}{{a}^{2}}$+1=$\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}}$＞0，所以f（x）在（0，1）上無零點．即h（x）無零點．
綜上，當0＜a＜2時，h（x）有2個零點，當a=2時，h（x）有1個零點，當a＞2時，h（x）無零點．

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系，函數(shù)最值的求法，函數(shù)零點個數(shù)的判斷，屬于中檔題．