Question

18．已知x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}1≤x+y≤3\\-1≤x-y≤1\end{array}\right.$
（1）求2x-y的最小值；
（2）求x²+y²的最小值；
（3）求$\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍．

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，（1）判斷目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解即可．（2）利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解即可．（3）利用目標(biāo)函數(shù)幾何意義斜率故選求解即可．

解答 解：x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}1≤x+y≤3\\-1≤x-y≤1\end{array}\right.$的可行域如圖：
（1）平行直線z=2x-y，當(dāng)直線經(jīng)過可行域的A時(shí)，
z取得的最小值；-1．
（2）x²+y²的最小值，就是可行域的P與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的距離的平方，轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)與x+y=1的距離的平方，$（{\frac{1}{\sqrt{2}}）}^{2}$=$\frac{1}{2}$；
（3）$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與（-1，-1）連線的斜率，顯然DB的斜率最小，DA的斜率最大，
k_DB=$\frac{0+1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，k_DA=$\frac{1+1}{0+1}$=2，
$\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍：$[{\frac{1}{2}，2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，判斷最優(yōu)解以及目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．