Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），且橢圓上的點(diǎn)到一個焦點(diǎn)的最短距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$b．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若點(diǎn)M（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在橢圓C上，直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，與直線OM相交于點(diǎn)N，且N是線段AB的中點(diǎn)，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的性質(zhì)可在：a-c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b，平方，利用橢圓的離心率公式，即可求得橢圓C的離心率；
（Ⅱ）將M代入橢圓方程，求得a和b的值，求得橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，代入求得k的值，利用弦長公式即可求得|AB|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由a-c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b，則（a-c）²=$\frac{1}{3}$b²，
由b²=a²-c²，整理得：2a²-3ac+a²=0，由e=$\frac{c}{a}$，
∴2e²-3e+1=0，
解得：e=1或e=$\frac{1}{2}$，
由0＜e＜1，
∴橢圓得離心率e=$\frac{1}{2}$，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=2c，則b²=3c²，
將M（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入橢圓方程，則$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，解得：c=1，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
直線OM的方程為y=$\frac{1}{2}$x，
當(dāng)直線l的不存在時，AB的中點(diǎn)不在直線y=$\frac{1}{2}$x，故直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=kx+m，則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
整理得：（3+4m²）x²+8kmx+4m²-12=0，
則△=64k²m²-4（3+4m²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
則y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$，
則AB的中點(diǎn)N（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），
由N在直線y=$\frac{1}{2}$x，則-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$=2×$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$，解得：k=-$\frac{3}{2}$，
則△=48（12-m²）＞0，解得：-2$\sqrt{3}$＜m＜2$\sqrt{3}$，
則丨AB丨=$\sqrt{1+（\frac{3}{2}）^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$•$\sqrt{（\frac{12m}{3+9}）^{2}-4×\frac{4{m}^{2}-12}{3+9}}$，
=$\frac{\sqrt{39}}{6}$•$\sqrt{12-{m}^{2}}$，
當(dāng)m=0，則丨AB丨最大，且丨AB丨_max=$\sqrt{13}$，
|AB|的最大值$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．