Question

12．已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且2acos²C+2ccosAcosC+b=0．
（1）求角C的大小；
（2）若b=4sinB，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）先利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角的三角等式，再結(jié)合三角變換公式可求角C的大小；
（2）先利用正弦定理可求c，再利用余弦定理建立關(guān)于a，b的等式，再結(jié)合基本不等式求得ab的最大值，進(jìn)而可求面積的最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵acos2C+2ccosAcosC+a+b=0，
∴2acos²C+2ccosAcosC+b=0．
∴由正弦定理可得：2sinAcos²C+2sinCcosAcosC+sinB=0．
∴2cosCsin（A+C）+sinB=0，即2cosCsinB+sinB=0，
∵0°＜B＜180°，
∴sinB≠0，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴C=120°…6分
（2）根據(jù)（1），由正弦定理，可得：c=$\frac{bsinC}{sinB}$=2$\sqrt{3}$，
由余弦定理，可得（2$\sqrt{3}$）²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab≥3ab，…10分
∴ab≤4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC$≤\sqrt{3}$．
∴△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理與余弦定理，考查了推理論證能力，運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化和化歸思想，屬于基礎(chǔ)題．