Question

9．設(shè)集合$A=\left\{{（{x，y}）|{{（{x-3}）}^2}+{{（{y-4}）}^2}=\frac{4}{5}}\right\}，B=\left\{{（{x，y}）|{{（{x-3}）}^2}+{{（{y-4}）}^2}=\frac{36}{5}}\right\}$，C={（x，y）|2|x-3|+|y-4|=λ}，若（A∪B）∩C≠ϕ，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，2}]∪[{\frac{{6\sqrt{5}}}{5}，6}]$
• B． $[{\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，6}]$
• C． $[{\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，2}]∪[{4，6}]$
• D． $\left\{2\right\}∪[{\frac{{6\sqrt{5}}}{5}，6}]$

Answer 1

分析 集合A、B是表示以（3，4）點(diǎn)為圓心，半徑為$\frac{2}{\sqrt{5}}$和$\frac{6}{\sqrt{5}}$的同心圓；
集合C在λ＞0時(shí)表示以（3，4）為中心，四條邊的斜率為±2的菱形；
結(jié)合題意畫出圖形，利用圖形知（A∪B）∩C≠∅，
是菱形與A或B圓有交點(diǎn)，從而求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：集合A={（x，y）|（x-3）²+（y-4）²=$\frac{4}{5}$}表示以（3，4）點(diǎn)為圓心，半徑為$\frac{2}{\sqrt{5}}$的圓；
集合B={（x，y）|（x-3）²+（y-4）²=$\frac{36}{5}$}表示以（3，4）點(diǎn)為圓心半徑為$\frac{6}{\sqrt{5}}$的圓；
集合C={（x，y）|2|x-3|+|y-4|=λ}，
∴當(dāng)x≥3，y≥4時(shí)，2|x-3|+|y-4|=λ化為2x+y-10-λ=0；
當(dāng)x≥3，y＜4時(shí)，2|x-3|+|y-4|=λ化為2x-y-2-λ=0；
當(dāng)x＜3，y＜4時(shí)，2|x-3|+|y-4|=λ化為2x+y-10+λ=0；
當(dāng)x＜3，y≥4時(shí)，2|x-3|+|y-4|=λ化為2x-y-2+λ=0；
∴在λ＞0時(shí)，表示以（3，4）為中心，四條邊的斜率為±2的菱形，
如下圖所示：

若（A∪B）∩C≠∅，則菱形與A或B圓有交點(diǎn)，
當(dāng)λ＜$\frac{2}{\sqrt{5}}$時(shí)，菱形在小圓的內(nèi)部，與兩圓均無交點(diǎn)，不滿足答案；
當(dāng)菱形與小圓相切時(shí)，圓心（3，4）到菱形2|x-3|+|y-4|=λ任一邊的距離等于大于半徑$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
當(dāng)x＞3，且y＞4時(shí)，菱形一邊的方程可化為2x+y-（10+λ）=0，
由d=$\frac{|10-（10+λ）|}{\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$得：λ=2；
當(dāng)2＜λ＜$\frac{6}{\sqrt{5}}$時(shí)，菱形在大圓的內(nèi)部，與兩圓均無交點(diǎn)，不滿足答案；
當(dāng)菱形與大圓相切時(shí)，圓心（3，4）到菱形2|x-3|+|y-4|=λ任一邊的距離等于大于半徑$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
當(dāng)x＞3，且y＞4時(shí)，菱形一邊的方程可化為2x+y-（10+λ）=0，
由d=$\frac{|10-（10+λ）|}{\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$得：λ=6，
故λ＞6時(shí)，兩圓均在菱形內(nèi)部，與菱形無交點(diǎn)，不滿足答案；
綜上實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[$\frac{2}{\sqrt{5}}$，2]∪[$\frac{6}{\sqrt{5}}$，6]，即[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，2]∪[$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，6]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的基本運(yùn)算問題，也考查了直線與圓的應(yīng)用問題，是綜合題．