Question

11．點(diǎn)M（x，y）在圓x²+（y-2）²=1上運(yùn)動(dòng)，則$\frac{xy}{{4{x^2}+{y^2}}}$的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{1}{4}$，+∞）
• B． （-∞，-$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{1}{4}$，+∞）∪{0}
• C． $[{-\frac{1}{4}，0}）∪（{0，\frac{1}{4}}]$
• D． $[{-\frac{1}{4}，\frac{1}{4}}]$

Answer 1

分析 利用圓的對(duì)稱性，通過(guò)x的范圍，利用基本不等式求解表達(dá)式的范圍，判斷即可．

解答 解：圓x²+（y-2）²=1的圓心（0，2），半徑為：1；可知x∈[-1，1]，
當(dāng)x＞0時(shí)y＞0，則0＜$\frac{xy}{{4{x^2}+{y^2}}}$=$\frac{1}{4\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{4x}{y}•\frac{y}{x}}}$=$\frac{1}{4}$當(dāng)且僅當(dāng)y=2x=$\frac{6}{5}$時(shí)取等號(hào)．
由圓的對(duì)稱性可知：x＜0時(shí)，則$\frac{xy}{{4{x^2}+{y^2}}}$∈[-$\frac{1}{4}$，0）
當(dāng)x=0時(shí)，則$\frac{xy}{{4{x^2}+{y^2}}}$=0，則$\frac{xy}{{4{x^2}+{y^2}}}$的取值范圍是[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用不等式的最值的求法，考查計(jì)算能力．