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15.已知O為坐標(biāo)原點,過雙曲線x2y2a2=1上的點P(1,0)作兩條漸近線的平行線,交兩漸近線分別于A,B兩點,若平行四邊形OBPA的面積為1,則雙曲線的離心率為5

分析 作出對應(yīng)的圖象,求出交點坐標(biāo),結(jié)合平行四邊形的面積建立方程關(guān)系求出a的值進(jìn)行求解即可.

解答 解:雙曲線的漸近線方程為y=±ax,(不妨設(shè)a>0),
設(shè)與y=-ax平行且過P的直線方程為y=-a(x-1)=-ax+a,
{y=axy=ax+a,得{x=12y=12a,即A(1212a)
則平行四邊形OBPA的面積S=2S△OBP=2×12×1×12a=12a=1,得a=2,
即雙曲線的方程為x2-y24=1,
則雙曲線的a1=1,b1=2,
則c=a12+12=5
即雙曲線的離心率e=ca1=51=5,
故答案為:5

點評 本題主要考查雙曲線離心率的求解,根據(jù)條件求出交點坐標(biāo),結(jié)合平行四邊形的面積進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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