Question

10．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點O為AC中點，D是BC上一點，OP⊥底面ABC，BC⊥面POD．
（Ⅰ）求證：點D為BC中點；
（Ⅱ）當(dāng)k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好是PD的中點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由BC⊥平面POD得BC⊥OD，由AB⊥BC得OD∥AB，再由O為AC中點得點D為BC的中點；
（Ⅱ）作OF⊥PD于點F，證明OF⊥平面PBC，PO=OD，利用勾股定理PA²=PO²+OA²，列方程求出k的值．

解答 解：（Ⅰ）證明：由BC⊥平面POD，得BC⊥OD，
又AB⊥BC，則OD∥AB，
又O為AC中點，所以點D為BC的中點，…（6分）
（Ⅱ）如圖，

過O作OF⊥PD于點F，
由OF⊥PD，OF⊥BC，PD∩BC=D，
∴OF⊥平面PBC，
又F為PD的中點，∴△POD為等腰三角形，
∴PO=OD，
不妨設(shè)PA=x，則AB=kx，PO=OD=$\frac{1}{2}$kx，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$kx，
在Rt△POA中，PA²=PO²+OA²，
代入解得k=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…（12分）．

點評 本題考查了空間中的垂直與平行關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了證明與計算問題，是綜合性題目．