Question

20．已知點F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點，點B是短軸頂點，直線BF₂與橢圓C相交于另一點D．若△F₁BD是等腰三角形，則橢圓C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，結(jié)合已知求出|DF₁|、|DF₂|，再由余弦定理列式求得答案．

解答 解：如圖，由橢圓定義可得：|DF₁|+|DF₂|=2a，∵△F₁BD是等腰三角形，
∴|DF₁|=|DB|=|DF₂|+|BF₂|，解得|DF₂|=$\frac{1}{2}a$，|DF₁|=$\frac{3}{2}a$．
又|BF₁|=a，
∴cos∠F₁DF₂=$\frac{（\frac{3}{2}a）^{2}+（\frac{3}{2}a）^{2}-{a}^{2}}{2×\frac{3}{2}a×\frac{3}{2}a}=\frac{7}{9}$，
又cos∠F₁DF₂=$\frac{（\frac{3}{2}a）^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}-（2c）^{2}}{2×\frac{3}{2}a×\frac{1}{2}a}=\frac{7}{9}$，
∴$\frac{10}{4}{a}^{2}-4{c}^{2}=\frac{7}{6}{a}^{2}$，化簡得：a²=3c²，得$e=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓定義及余弦定理的應(yīng)用，是中檔題．