Question

8．已知函數(shù)y=$\sqrt{a•{9}^{x}+{3}^{x}+1}$的定義域為（-∞，1]，求a的值．

Answer 1

分析 由函數(shù)y=$\sqrt{a•{9}^{x}+{3}^{x}+1}$的定義域為（-∞，1]，可得a•9^x+3^x+1≥0的解集為（-∞，1]，當a=0時，有3^x+1≥0恒成立，不合題意；當a≠0時，由x∈（-∞，1]，得t=3^x∈（0，3]．即at²+t+1≥0的解集為（0，3]．然后列關于a的式子求解．

解答 解：∵函數(shù)y=$\sqrt{a•{9}^{x}+{3}^{x}+1}$的定義域為（-∞，1]，
∴由a•9^x+3^x+1≥0，得
當a=0時，有3^x+1≥0恒成立，不合題意；
當a≠0時，∵x∈（-∞，1]，∴t=3^x∈（0，3]．
即at²+t+1≥0的解集為（0，3]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{9a+3+1=0}\end{array}\right.$，解得a=-$\frac{4}{9}$．
綜上，a的值為-$\frac{4}{9}$．

點評 本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查數(shù)學轉化思想方法，是中檔題也是易錯題．