Question

圓內(nèi)有一點(diǎn)，為過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的弦，

（1）當(dāng)＝135０時(shí)，求;

（2）當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，求出直線的方程;

（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的弦的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的關(guān)系式.

 

Answer 1

（1）(2) (3)

【解析】

試題分析：（1）要求弦長(zhǎng),可利用弦長(zhǎng)公式,即將弦所在的直線方程,與圓的方程聯(lián)立,之后所得的二次方程中,利用求之.還可以利用圓中求之,其中是圓心到弦所在直線的距離,指弦長(zhǎng).但是不論采取哪種方法,都先得求出弦所在的直線方程.根據(jù)題意,點(diǎn)斜式可求出.

(2)當(dāng)弦被平分時(shí),弦所在直線被直線垂直且平分.所以,可先求出直線斜率, 根據(jù)垂直可知直線斜率,又因?yàn)橹本�過(guò)點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)斜式可求出直線.

(3)因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的弦可分為三種情況,①無(wú)斜率,此時(shí),;②斜率為0,此時(shí)平行x軸， ；③直線有斜率，且不為0，此時(shí)，根據(jù)斜率相乘等于-1可找到點(diǎn)軌跡，將①②代入③中驗(yàn)證即可.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，直線的斜率為-1，根據(jù)點(diǎn)斜式有,直線的方程，

所以圓心到直線的距離為，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721170544261293/SYS201411172117109115899757_DA/SYS201411172117109115899757_DA.024.png"> ,

所以根據(jù),解得

（2）當(dāng)弦被平分時(shí)，，，

又因?yàn)橹本�過(guò)點(diǎn),所以根據(jù)點(diǎn)斜式有直線的方程為.

（3）設(shè)的中點(diǎn)為，則 ,即

當(dāng)的斜率和的斜率都存在時(shí)：有

當(dāng)斜率不存在時(shí)點(diǎn)滿(mǎn)足上式，

當(dāng)斜率不存在時(shí)點(diǎn)亦滿(mǎn)足上式，

所以點(diǎn)的軌跡為。

考點(diǎn)：求圓中的弦長(zhǎng);點(diǎn)斜式求直線;討論直線斜率情況求點(diǎn)的軌跡.