已知正項數(shù)列{a_n}中，對于一切的n∈N^*均有成立．

(1)證明：數(shù)列{a_n}中的任意一項都小于1；

(2)探究a_n與的大小，并證明你的結論．

甲從裝有編號為1，2，3，4，5的卡片的箱子中任意取一張，乙從裝有編號為2，4的卡片的箱子中任意取一張，用ξ₁，ξ₂分別表示甲、乙取得的卡片上的數(shù)字．

(1)求概率P(ξ₁＞ξ₂)；

(2)記，求η的分布列與數(shù)學期望．

求直線(t為參數(shù))被曲線所截的弦長．

已知二階矩陣M有特征值λ＝8及對應的一個特征向量，并且矩陣M對應的變換將點(－1，2)變換成(－2，4)，求矩陣M．

如圖，ABCD是邊長為a的正方體，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O交于點P，延長CP交AB于M．

求證：(1)M是AB的中點；

(2)求線段BP的長．

已知函數(shù)f(x)＝2x＋alnx．

(1)若f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，求a的范圍

(2)若a＜0，對于任意兩個正數(shù)x₁、x₂總有：

(3)若存在x∈[1，e]，使不等式f(x)≤(a＋3)x－x²成立，求實數(shù)a的取值范圍

已知點列B₁(1，y₁)，B₂(2，y₂)，…，B_n(n，y_n)，…(n∈N^*)順次為直線上的點，點列A₁(x₁，0)，A₂(x₂，0)，…，A_n(x_n，0)，…(n∈N^*)順次為x軸上的點，其中x₁＝a(0＜a＜1)，對任意的n∈N^*，點A_n、B_n、A_n+1構成以B_n為頂點的等腰三角形．

(1)證明：數(shù)列{y_n}是等差數(shù)列；

(2)求證：對任意的n∈N^*，x_n+2－x_n是常數(shù)，并求數(shù)列{x_n}的通項公式；

(3)若等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否有正三角形，若有，求出實數(shù)a

已知橢圓兩焦點分別為F₁、F₂，P是橢圓在第一象限弧上一點，并滿足，過P作傾斜角互補的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點．

(1)求P點坐標；

(2)求證直線AB的斜率為定值；

(3)求△PAB面積的最大值．

已知某類學習任務的掌握程度y與學習時間t(單位時間)之間的關系為y＝f(t)＝，這里我們稱這一函數(shù)關系為“學習曲線”．已知這類學習任務中的某項任務有如下兩組數(shù)據(jù)：t＝4，y＝50％；t＝8，y＝80％．

(1)試確定該項學習任務的“學習曲線”的關系式f(t)；

(2)若定義在區(qū)間[x₁，x₂]上的平均學習效率為，問這項學習任務從哪一刻開始的2個單位時間內(nèi)平均學習效率最高．

如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝3，AC＝AB＝4，PB＝PC＝BC＝5，D、E分別是BC、AC的中點，F(xiàn)為PC上的一點，且PF∶FC＝3∶1．

(Ⅰ)求證：PA⊥BC；

(Ⅱ)試在PC上確定一點G，使平面ABG∥平面DEF；