已知橢圓的上頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,直線與圓相切.過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).
(I)求橢圓的方程;
(II)當(dāng)的面積達(dá)到最大時(shí),求直線的方程.

已知拋物線及點(diǎn),直線斜率為1且不過(guò)點(diǎn),與拋物線交于點(diǎn)A,B,
(1) 求直線在軸上截距的取值范圍；
(2) 若AP,BP分別與拋物線交于另一點(diǎn)C、D，證明:AD,BC交于定點(diǎn).

已知平面上動(dòng)點(diǎn)P（）及兩個(gè)定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），直線PA、PB的斜率分別為、 且
（I）求動(dòng)點(diǎn)P所在曲線C的方程。
（II）設(shè)直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，當(dāng)OM⊥ON時(shí)，求點(diǎn)O到直線的距離。（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），它與曲線交于A、B兩點(diǎn)。
（1）求的長(zhǎng)；
（2）在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離。

已知，，圓，一動(dòng)圓在軸右側(cè)與軸相切，同時(shí)與圓相外切，此動(dòng)圓的圓心軌跡為曲線C，曲線E是以，為焦點(diǎn)的橢圓。
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)曲線C與曲線E相交于第一象限點(diǎn)P，且，求曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）在（1）、（2）的條件下，直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)M在曲線C上，求直線的斜率的取值范圍。

已知橢圓C：的離心率為，右焦點(diǎn)到直線 的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)若直線 與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)恰好在直線上，求△OAB的面積S的最大值.(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

已知拋物線的焦點(diǎn)為F₂，點(diǎn)F₁與F₂關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線m垂直于軸（垂足為T(mén)），與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P、Q，且.
（Ⅰ）求點(diǎn)T的橫坐標(biāo)；
（Ⅱ）若橢圓C以F₁,F₂為焦點(diǎn)，且F₁,F₂及橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)圍成的三角形面積為1.
① 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
② 過(guò)點(diǎn)F₂作直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)，若的取值范圍.

如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，其上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)到橢圓的左焦點(diǎn)的距離為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為，為的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，試探究：在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與圓:的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

已知橢圓C：其左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且|OP|=（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)：若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，以為圓心，為半徑的圓與的兩個(gè)公共點(diǎn)是．

（1）若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，求圓的方程；
（2）若三點(diǎn)在同一條直線上，且原點(diǎn)到直線的距離為，求橢圓方程．