已知數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n 且S_n=2n²，數(shù)列{b_n}的前n項和是T_n且T_n+

1

2

bn=1．n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）記c_n=

1

4

an•bn，求數(shù)列{c_n}的前n項和M_n．

函數(shù)f（x）=a•e^x，g（x）=lnx-lna，其中a為常數(shù)，且函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標(biāo)軸的交點處的切線互相平行，求此時平行線的距離．

已知關(guān)于x的方程2x²-（2m+1）x+2m=0的兩根為sinθ和cosθ（θ∈（0，π）），求：
（1）m的值；
（2）

sinθ

1-cotθ

+

cosθ

1-tanθ

的值；
（3）方程的兩根及此時θ的值．

設(shè)

a

=（-1，1），

b

=（4，3），

c

=（5，-2）
（Ⅰ）若（

a

+t

b

）∥

c

，求實數(shù)t的值；
（Ⅱ）求

c

在

a

方向上的正射影的數(shù)量．

已知函數(shù)f（x）=ax+xln|x+b|是奇函數(shù)，且圖象在點（e，f（e））（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（1）求實數(shù)a、b的值；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

對任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）當(dāng)n＞m＞1（n，m∈Z）時，證明：（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

已知橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的一個頂點為M（0，1），離心率e=

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=3．求證：直線AB過定點，并求出直線AB的斜率k的取值范圍．

品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試．根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分．
現(xiàn)設(shè)n=4，分別以a₁，a₂，a₃，a₄表示第一次排序時被排為1，2，3，4的四種酒在第二次排序時的序號，并令X=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|，則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述．
（Ⅰ）寫出X的所有可能值組成的集合S；
（Ⅱ）假設(shè)a₁，a₂，a₃，a₄等可能地為1，2，3，4的各種排列，求S中每個元素出現(xiàn)的概率．

用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+4+7+…+（3n-2）=

1

2

n（3n-1）．

2000輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示．問：
（Ⅰ）時速在[50，60）的汽車大約有多少輛？
（Ⅱ）如果每個時段取中值來代表這個時段的平均速度，如時速在[50，60）的汽車其速度視為55，請估算出這2000輛汽車的平均速度．

已知AB是單位半圓的直徑，動點P從點A出發(fā)先過半圓弧，再沿BA回到A點，試把動點P到點A的水平距離S表示為路程x的函數(shù)．