已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓C過(guò)點(diǎn)Q（1，

3

2

），且點(diǎn)Q在x軸的射影恰為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F₁．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）命題：“關(guān)于雙曲線C的命題為：過(guò)雙曲線

x2

3

-y²=1的焦點(diǎn)F₁（2，0）作與x軸不垂直的任意直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則

|AB|

|F1M|

為定值，且定值是

3

．”命題中涉及了這么幾個(gè)要素；給定的圓錐曲線E，過(guò)該圓錐曲線焦點(diǎn)F的弦AB，AB的垂直平分線試類比上述命題，寫出一個(gè)關(guān)于橢圓C的類似的正確命題，并加以證明：
（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關(guān)于圓錐的曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）．

在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4

2

sin（θ+

π

4

）．現(xiàn)以點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 1 2 t y=-3+ 3 2 t

（t為參數(shù)）．
（I）寫出直線l和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l和曲線C交于A，B兩點(diǎn)，定點(diǎn)P（-2，-3），求|PA|•|PB|的值．

求證：（1+1）（1+

1

3

）（1+

1

5

）…（1+

1

2n-1

）＞

2n+1

．

如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=2BD，M是EA的中點(diǎn)
（Ⅰ）判斷BM與DE的位置關(guān)系，不需證明；
（Ⅱ）求證：DM∥平面ABC；
（Ⅲ）求證：平面DEA⊥平面ECA．

如圖，已知AB是圓柱OO₁底面圓O的直徑，底面半徑R=1，圓柱的表面積為8π；點(diǎn)C在底面圓O上，且直線A₁C與下底面所成的角的大小為60°．
（1）求點(diǎn)A到平面A₁CB的距離；
（2）求二面角A-A₁B-C的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，M為正方形AA₁D₁D的中心，N為棱AB的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥面BB₁D₁D；
（2）求二面角D₁-MB₁-N的余弦值．

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，BC=

2

，BB₁=2，AC₁與A₁C交于一點(diǎn)P，延長(zhǎng)B₁B到D，使得BD=AB，連接DC，DA，得到如圖所示幾何體．
（Ⅰ）若AB=1，求證：BP∥平面ACD，
（Ⅱ）若直線CA₁與平面BCC₁B₁所成的角為30°，求二面角D-AC-C₁的余弦值．

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁ C₁中，側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁=2，AC=2

2

，E，F(xiàn)分別是A₁B，BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：EF∥平面A A_lC_lC；
（Ⅱ）證明：平面A₁ABB₁⊥平面BEC．

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=

9

2

，其前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，比為q，且S₂+b₃=21，S₂-b₃=q
（Ⅰ）求通項(xiàng)公式a_n與b_n；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n•S_n=1，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為上頂點(diǎn)，圓O：x²+y²=b²將橢圓C的長(zhǎng)軸三等分，直線l：y=mx-

4

5

（m≠0）與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證△APB為直角三角形；并求出該三解形面積的最大值．