19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，若動點A在橢圓C上，動點B在直線y=$\frac{ab}{c}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$上．（c為橢圓的半焦距）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若OA⊥OB（O為坐標原點），試探究點O到直線AB的距離是否為定值；若是定值，求出該定值；若不是，請說明理由．

18．已知a、b、c都是正數(shù)，求證：
（I）$\frac{^{2}}{a}$$+\frac{{c}^{2}}$$+\frac{{a}^{2}}{c}$≥a十b+c；
（2）2（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$≤3（$\frac{a+b+c}{3}$-$\root{3}{abc}$）

17．設(shè)點P是圓x²+y²=4上的任一點，定點D的坐標為（8，0），若點M滿足$\overrightarrow{PM}$=2$\overrightarrow{MD}$，當點P在圓上運動時，求點M的軌跡方程．

16．已知點M（-3，0），N（3，0），B（2，0），動圓C與直線MN切于點B，過M，N與圓C相切的兩直線交于點P，則P的軌跡方程為（　�。�

A．

$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x＜-2）

B．

$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x＞2）

C．

$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x＞0）

D．

$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x＞0）

15．設(shè)a，b，c為正數(shù)，且a²+b²+c²=1，求證：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$-$\frac{2（{a}^{3}+^{3}+{c}^{3}）}{abc}$≥3．

14．某著名歌星在某地舉辦一次歌友會，有1000人參加，每人一張門票，每張100元．在演出過程中穿插抽獎活動，第一輪抽獎從這1000張票根中隨機抽取10張，其持有者獲得價值1000元的獎品，并參加第二輪抽獎活動．第二輪抽獎由第一輪獲獎?wù)擢毩⒉僮靼粹o，電腦隨機產(chǎn)生兩個實數(shù)x，y（x，y∈[0，4]），若滿足y≥$\frac{8}{5}x$，電腦顯示“中獎”，則抽獎?wù)咴俅潍@得特等獎獎金；否則電腦顯示“謝謝”，則不獲得特等獎獎金．
（Ⅰ）已知小明在第一輪抽獎中被抽中，求小明在第二輪抽獎中獲獎的概率；
（Ⅱ）設(shè)特等獎獎金為a元，小李是此次活動的顧客，求小李參加此次活動獲益的期望；若該歌友會組織者在此次活動中獲益的期望值是至少獲得70000元，求a的最大值．

13．求證：$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＜1（n＞1，n∈N^*）

12．設(shè)a，b，c是正實數(shù)，且a²+b²+c²+abc=4，證明：a+b+c≤3．

11．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．
（Ⅰ）求ab的最大值；
（Ⅱ）求證：$（{a+\frac{1}{a}}）（{b+\frac{1}}）≥\frac{25}{4}$．

10．2011年，國際數(shù)學(xué)協(xié)會正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為國際數(shù)學(xué)節(jié)，來源是中國古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率．為慶祝該節(jié)日，某校舉辦的數(shù)學(xué)嘉年華活動中，設(shè)計了如下有獎闖關(guān)游戲：參賽選手按第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的順序依次闖關(guān)，若闖關(guān)成功，分別獲得5個、10個、20個學(xué)豆的獎勵．游戲還規(guī)定，當選手闖過一關(guān)后，可以選擇帶走相應(yīng)的學(xué)豆，結(jié)束游戲；也可以選擇繼續(xù)闖下一關(guān)，若有任何一關(guān)沒有闖關(guān)成功，則全部學(xué)豆歸零，游戲結(jié)束．設(shè)選手甲能闖過第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的概率分別為$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，選手選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為$\frac{1}{2}$，且各關(guān)之間闖關(guān)成功與否互不影響．
（Ⅰ）求選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率；
（Ⅱ）設(shè)該選手所得學(xué)豆總數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．