Question

18．尋找地外文明一直是科學家們不斷努力的目標．為了探測某行星上是否存在生命，科學家們向該行星發(fā)射了一顆探測衛(wèi)星，衛(wèi)星繞該行星做勻速圓周運動的半徑為r，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，該行星的質(zhì)量為M，引力常量為G，試求：
（1）該衛(wèi)星做圓周運動的向心力的大�。�
（2）衛(wèi)星的運行周期；
（3）若已知該行星的半徑為R，周期為T．試求該行星的密度ρ．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力計算向心力大�。�
根據(jù)萬有引力提供向心力列出等式$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，化簡可得周期的表達式．
衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力計算出行星的質(zhì)量，根據(jù)密度定義計算行星的密度．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力定律得
該衛(wèi)星做圓周運動的向心力的大小$F=G\frac{Mm}{{r}^{2}}$
（2）研究人造衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力列出等式$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$．
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
根據(jù)密度的定義$ρ=\frac{M}{V}$，得$ρ=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}{π}^{3}}$=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
答：（1）該衛(wèi)星做勻速圓周運動的向心力的大小是$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$．
（2）該衛(wèi)星的運行周期是$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$．
（3）該行星的密度為$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．

點評 解決該題關(guān)鍵要通過萬有引力提供向心力求解，能正確選擇向心力的公式．