Question

15．如圖所示，xOy為空間直角坐標(biāo)系，真空中有一以原點為圓心的圓形磁場區(qū)域，半徑為x₀，磁場垂直紙面向里．在x＞x₀的區(qū)域存在平行x軸，沿-x方向的勻強電場，電場強度為E，M點為磁場邊界與+y軸的交點，該點有一α粒子源不斷輻射出α粒子，在紙面內(nèi)從M點以相同的速率v，沿不同方向射入磁場，發(fā)現(xiàn)沿-y方向射入磁場的α粒子穿出磁場進入電場后，速度減小到0．已知α粒子的質(zhì)量為m，電荷量為+q．（α粒子重力不計） 
（1）求圓形磁場區(qū)域中磁感應(yīng)強度的大小；
（2）由M點沿-y方向射入磁場的α粒子，穿出磁場進入電場后，返回再次穿出磁場，求該粒子從M點開始到再次出磁場時所運動的路程；
（3）沿與-y方向成60°角射入的α粒子，最終將從磁場邊緣的N點（圖中未畫出）穿出，求N點的坐標(biāo)和粒子從M點運動到N點的總時間．

Answer 1

分析 （1）首先要根據(jù)題目的要求，畫出粒子運動的軌跡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力和圖象中的幾何關(guān)系，求得磁感應(yīng)強度；
（2）使用運動學(xué)的公式計算出粒子在電場中的最大位移，然后結(jié)合圖象中的幾何關(guān)系，求出粒子的路程；
（3）先根據(jù)題目提供的條件，畫出粒子運動的軌跡，然后根據(jù)粒子運動的軌跡和運動學(xué)的公式，求出粒子在各段不同的軌跡上所用的時間，總時間為各段時間的和．

解答 解：（1）粒子穿出磁場進入電場后，速度減小到0，說明粒子平行x軸進入電場，由粒子的路徑圖①可知，在磁場中作圓周運動的軌道半徑為 R=x₀      
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得
 B=$\frac{mv}{q{x}_{0}}$       
（2）如圖①，粒子在磁場中經(jīng)$\frac{1}{4}$圓弧后，進入電場減速到0，在電場中減速的位移為
△x=$\frac{{v}^{2}}{2•\frac{qE}{m}}$=$\frac{m{v}^{2}}{2qE}$
則粒子從M點開始到再次出磁場時所運動的路程為
  s=$\frac{1}{4}×2πR×2$+2△x=πx₀+$\frac{m{v}^{2}}{qE}$
（3）沿與-y方向成60°角射入的粒子運動軌跡如圖②所示，由P點水平出磁場，勻速運動至Q點進入電場，速度會減小到0后返回，經(jīng)Q、P點再次進入磁場，由幾何關(guān)系可知，四邊形OPO₁M和OPO₂N都是菱形，故N點的坐標(biāo)為：（0，-x₀）       
在磁場中運動的兩段圓弧所對應(yīng)圓心角之和為180°，則在磁場中運動的時間為
  t₁=$\frac{T}{2}$=$\frac{2πR}{v}×\frac{1}{2}$=$\frac{π{x}_{0}}{v}$
由P到Q的時間 t₂=$\frac{{x}_{0}}{2v}$
在電場中減速的時間 ${t}_{3}=\frac{v}{a}$=$\frac{mv}{qE}$
則由M到N的總時間為 t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（π+1）{x}_{0}}{v}$+$\frac{2mv}{qE}$
答：
（1）圓形磁場區(qū)域中磁感應(yīng)強度的大小為 $\frac{mv}{q{x}_{0}}$；
（2）該粒子從M點開始到再次出磁場時所運動的路程為πx₀+$\frac{m{v}^{2}}{qE}$；
（3）N點的坐標(biāo)為（0，-x₀），粒子從M點運動到N點的總時間為$\frac{（π+1）{x}_{0}}{v}$+$\frac{2mv}{qE}$．

點評 本題能夠根據(jù)題目提供到達條件畫出粒子運動的軌跡是解題的關(guān)鍵．這也是解決粒子在磁場中運動的常規(guī)的要求．該題的難度比較大．