Question

2．如圖1所示，光滑曲面軌道置于離地面高度H=1.8m的平臺上，其末端切線水平．另有一長木板兩端分別擱在軌道末端點和水平地面間，構(gòu)成傾角θ=37°的斜面，整個裝置固定在豎直平面內(nèi)．一個可視為質(zhì)點的質(zhì)量m=0.1kg的小球，從光滑曲面上由靜止開始下滑．（不計空氣阻力，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）若小球在曲面上離平臺高度h₁=0.45m處靜止下滑，求小球離開平臺時的速度大小；
（2）若小球下滑后正好落在木板的末端，求小球在曲面上的釋放點離平臺的高度h₀；
（3）試推導小球下滑后第一次撞擊木板時的動能E_k與它在曲面上的釋放點離平臺的高度h的關系表達式，在如圖2中并作出E_k-h圖象．

Answer 1

分析 （1）小球下滑過程中受重力和支持力，其中支持力不做功，只有重力做功，機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律列式求解小球離開平臺時的速度大��；
（2）先根據(jù)平拋運動的分位移公式求解出平拋的初速度，然后對沿斜面下滑過程運用機械能守恒定律列式求解釋放點離平臺的高度h₀；
（3）小球落到斜面上，位移方向一定，先根據(jù)位移時間關系公式得到運動時間，再求出水平和豎直分速度后合成合速度，得到動能的一般表達式，再作圖．

解答 解：（1）小球從曲面上滑下，只有重力做功，由機械能守恒定律：
  mgh₁=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得 v₀=$\sqrt{2g{h}_{1}}$=$\sqrt{2×10×0.45}$=3m/s
即小球離開平臺時速度的大小是3m/s．
（2）小球離開平臺后做平拋運動，小球正好落到水平地面木板的末端，則
 H=$\frac{1}{2}$gt²      
 $\frac{H}{tanθ}$=v₁t    
聯(lián)立上兩式得：v₁=4m/s
小球在曲面下滑的過程，由機械能守恒定律：
  mgh₀=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 h₀=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}$=$\frac{16}{20}$m=0.8m
即釋放小球的高度h₀為0.8m．
（3）由機械能守恒定律可得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
小球由離開平臺后做平拋運動，可看做水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，則：
 y=$\frac{1}{2}$gt²   
 x=v₀t      
又 tan37°=$\frac{y}{x}$
 小球撞擊木板時豎直分速度  v_y=gt   
此時的速度  v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
動能 E_K=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由以上解得：E_k=3.25h  
考慮到當h＞0.8m時小球不會落到斜面上，其圖象如圖所示

答：
（1）小球離開平臺時的速度大小為3m/s．    
（2）小球在曲面上的釋放點離平臺的高度h₀為0.8m．   
（3）小球下滑后第一次撞擊木板時的動能E_k與它在曲面上的釋放點離平臺的高度h的關系表達式為 E_k=3.25h，圖象如圖．

點評 本題關鍵是將平拋運動沿著水平和豎直方向正交分解，根據(jù)位移時間關系公式和速度時間關系列式，同時對沿斜面加速過程運用機械能守恒定律列式后聯(lián)立求解．