Question

常見(jiàn)的激光器有固體激光器和氣體激光器，世界上一些發(fā)達(dá)國(guó)家已經(jīng)研究出了自由電子激光器，其原理的簡(jiǎn)單示意如圖（a）．自由電子（設(shè)初速度為零，不計(jì)重力）經(jīng)電場(chǎng)加速后，射入上下排列著許多磁鐵的管中，相鄰的兩塊磁鐵的極性是相反的，在磁場(chǎng)的作用下電子扭動(dòng)著前進(jìn)，猶如小蟲(chóng)在水中游動(dòng)．電子每扭動(dòng)一次就會(huì)發(fā)出一個(gè)光子（不計(jì)電子發(fā)出光子后能量的損失），管兩端的反射鏡使光子來(lái)回反射，結(jié)果從透光的一端發(fā)射出激光．若加速電場(chǎng)電壓U=1.8×10⁴V，電子質(zhì)量為m=0.91×10^-30kg，電子的電荷量q=1.6×10^-19c，每對(duì)磁極間的磁場(chǎng)可看做是均勻的，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=9×10^-4T，每個(gè)磁極的左右寬度為a=30cm，垂直于紙面方向的長(zhǎng)度為b=60cm，忽略左右磁極間的縫隙，從上向下看兩極間的磁場(chǎng)如圖（b），當(dāng)電子在磁極的正中間向右垂直于磁場(chǎng)方向射入時(shí)，求：
（1）電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v；（2）電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R；（3）畫(huà)出電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡；
（4）電子可通過(guò)磁極的個(gè)數(shù)n；（5）電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t．

Answer 1

分析：（1）電子被加速，根據(jù)動(dòng)能定理，即可求解；
（2）電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，即可求解；
（3）由左手定則確定洛倫茲力方向，再根據(jù)受力與運(yùn)動(dòng)關(guān)系，來(lái)畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡；
（4）由幾何關(guān)系，求出側(cè)移量，從而確定通過(guò)磁極的個(gè)數(shù)；
（5）根據(jù)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡，求出對(duì)應(yīng)的圓心角，從而得出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)電子經(jīng)電場(chǎng)加速獲得的速度為v，
由動(dòng)能定理得，qU=

1

2

mv2，
所以v=

2qU m

=

2×1.6×10-19×1.8×104 0.91×10-30

m/s=8×10⁷m/s
（2）由電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)軌道半徑為R，則qvB=m

v2

R

所以R=

mv

qB

=

0.91×10-30×8×107

1.6×10-19×9×10-4

m=0.5m
（3）電子在磁極間的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示（俯視圖），
（4）電子穿過(guò)每對(duì)磁極的側(cè)位移距離均相同，設(shè)為△L，
則有△L=R-

R2-a2

=0.1m
通過(guò)的磁極個(gè)數(shù)：n=

b

2△L

=3
（5）由（3）可知，電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的圓心角滿足sinθ=

a

R

，
可解得：θ=37°，故電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=3×

θ

2π

×T=3×

37°

360°

×

2πR

v

=1.21×10^-8s
答：
（1）電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度8×10⁷m/s；（2）電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑0.5m；（3）電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如上圖；
（4）電子可通過(guò)磁極的個(gè)數(shù)3；（5）電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間1.21×10^-8s．

點(diǎn)評(píng)：本題考查電子在電場(chǎng)中加速，在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，并由動(dòng)能定理、牛頓第二定律及幾何關(guān)系來(lái)綜合解題，從而培養(yǎng)學(xué)生形成一定的套路．