Question

2．如圖所示，一垂直放置的高為15.0cm的圓柱中空玻璃容器，其底部玻璃較厚，底部頂點(diǎn)A點(diǎn)到容器底平面中心B點(diǎn)的距離為8.0cm，底部上底為一凸起的球冠，球心C點(diǎn)在A點(diǎn)正下方，球的半徑為1.75cm，已知空氣和容器玻璃的折射率分別是n₀=1.0，n₁=1.56，只考慮軸光線成像．已知當(dāng)λ＜＜1，sinλ≈λ．
（1）當(dāng)容器內(nèi)未裝任何液體時(shí)，求從B點(diǎn)發(fā)出的光線通過平凸玻璃柱，在玻璃柱對稱軸上所成的像的位置，并判斷像的虛實(shí)；
（2）當(dāng)容器內(nèi)裝滿折射率為1.30的液體時(shí)，求從B點(diǎn)發(fā)出的光線通過平凸玻璃柱的上表面折射后所成像點(diǎn)的位置，并判斷這個(gè)像的虛實(shí)．

Answer 1

分析 （1）未加入液體時(shí)，杯底凸球面的兩側(cè)介質(zhì)的折射率分別為n和n₀．在圖中，B為畫片中心，由B發(fā)出經(jīng)過球心C的光線PO經(jīng)過頂點(diǎn)不變方向進(jìn)入空氣中；由B發(fā)出的與BO成α角的另一光線BD在D處折射．設(shè)D處入射角為i，折射角為r，半徑CD與DO的夾角為θ，由折射定律和幾何關(guān)系結(jié)合求解．
（2）同理，在當(dāng)容器內(nèi)裝滿折射率為1.30的液體時(shí)，仍然依以上的方法即可求出．

解答 解：（1）當(dāng)容器內(nèi)未裝任何液體時(shí)，杯底凸球面的兩側(cè)介質(zhì)的折射率分別為n₀=1.0和n₁=1.56，在圖中，由B發(fā)出經(jīng)過球心C的光線BA經(jīng)過頂點(diǎn)不變方向進(jìn)入空氣中；由B發(fā)出的與BA成α角的另一光線BD在D處折射．設(shè)D處入射角為θ，折射角為φ，并與前一條光線交于E點(diǎn)，E點(diǎn)就是B的像點(diǎn)的位置．

由折射定律和幾何關(guān)系可得
n₁sinθ=n₀sinφ；  γ=θ+α；φ=γ+β    ①
在△BCD和△CDE中，由正弦定理，有$\frac{\overline{CD}}{sinα}=\frac{\overline{BC}}{sinθ}$；$\frac{\overline{CD}}{sinβ}=\frac{\overline{CE}}{sinφ}$   ②
考慮近軸光線成像，α，β，γ、φ、都是小角度，則有
n₁θ=n₀φ；$θ•\overline{CD}=α•\overline{BC}$；$φ•\overline{CD}=β•\overline{CE}$ ③
由③式，可得：$α+θ=φ（1+\frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}）•\frac{{n}_{0}}{{n}_{1}}=0.82φ＜φ$  ④
考慮到光線是匯聚的，故所成的像是實(shí)像，由以上各式可得：
$\overline{CE}=\frac{φ}{β}•\overline{CD}=\frac{1}{1-\frac{{n}_{0}}{{n}_{1}}-\frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}•\frac{{n}_{0}}{{n}_{1}}}•\overline{CD}$     ⑤
將數(shù)據(jù)代入公式，得：
$\overline{CE}=\frac{1}{1-\frac{1}{1.56}-\frac{1.75}{8.0-1.75}×\frac{1}{1.56}}×1.75=9.75$cm   
或：$\overline{BE}=\overline{BA}-\overline{AC}+\overline{CE}=（8.0-1.75+8.75）=16.0$cm
所以，B點(diǎn)發(fā)出的光在玻璃柱對稱軸上所成的像點(diǎn)的位置在C點(diǎn)正上方9.75cm處（或在B點(diǎn)正上方16.0cm處）
（2）當(dāng)容器內(nèi)裝滿折射率為1.30的液體時(shí)，容器底凸球面的兩側(cè)介質(zhì)的折射率分別為n₂=1.30和n₁=1.56，如圖，在圖中，由B發(fā)出經(jīng)過球心C的光線BA經(jīng)過頂點(diǎn)不變方向進(jìn)入液體中；由B發(fā)出的與BA成α角的另一光線BD在D處折射．設(shè)D處入射角為θ，折射角為φ，并與前一條光線交于E點(diǎn)，E點(diǎn)即由B點(diǎn)發(fā)出的光線第一次折射后的成像的位置．

由折射定律和幾何關(guān)系可得
 n₁sinθ=n₂sinφ；  γ=θ+α；γ=φ+β    ⑥
在△BCD和△CDE中，由正弦定理，有$\frac{\overline{CD}}{sinα}=\frac{\overline{BC}}{sinθ}$；$\frac{\overline{CD}}{sinβ}=\frac{\overline{CE}}{sinφ}$   ⑦
考慮近軸光線成像，α，β，γ、φ、都是小角度，則有
n₁θ=n₂φ；$θ•\overline{CD}=α•\overline{BC}$；$φ•\overline{CD}=β•\overline{CE}$   ⑧
由⑧式，可得：$α+θ=φ（1+\frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}）•\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}=1.07φ＞φ$  ⑨
考慮到光線是匯聚的，故所成的像是虛像，由以上各式可得：
$\overline{CE}=\frac{φ}{β}•\overline{CD}=\frac{1}{\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}+\frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}•\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}-1}•\overline{CD}$  
將數(shù)據(jù)代入公式，得：$\overline{CE}=\frac{1}{\frac{1.30}{1.56}+\frac{1.75}{8.0-1.75}×\frac{1.30}{1.56}-1}×1.75=26.25$cm
所以B點(diǎn)發(fā)出的光在玻璃柱對稱軸上所成的像點(diǎn)的位置在C點(diǎn)正下方26.25cm處
答：（1）當(dāng)容器內(nèi)未裝任何液體時(shí)，從B點(diǎn)發(fā)出的光線通過平凸玻璃柱，在玻璃柱對稱軸上所成的像的位置在C點(diǎn)的正上方9.75cm處，是實(shí)像；
（2）當(dāng)容器內(nèi)裝滿折射率為1.30的液體時(shí)，從B點(diǎn)發(fā)出的光線通過平凸玻璃柱的上表面折射后在玻璃柱對稱軸上所成的像的位置在C點(diǎn)的正下方26.25cm處，是虛像．

點(diǎn)評 該題考查光的成像問題，解決本題的關(guān)鍵是畫出光路圖，借助透鏡成像規(guī)律，結(jié)合數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答．