Question

14．我國(guó)的月球探測(cè)計(jì)劃“嫦娥工程”分為“繞、落、回”三步．“嫦娥三號(hào)”的任務(wù)是“落”．2013年12月2日，“嫦娥三號(hào)”發(fā)射，經(jīng)過(guò)中途軌道修正和近月制動(dòng)之后，“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器進(jìn)入繞月的圓形軌道I．12月12日衛(wèi)星成功變軌，進(jìn)入遠(yuǎn)月點(diǎn)P、近月點(diǎn)Q的橢圓形軌道II，如圖所示． 2013年12月14日，“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器在Q點(diǎn)附近制動(dòng)，由大功率發(fā)動(dòng)機(jī)減速，以拋物線路徑下降到距月面100米高處進(jìn)行30s懸停避障，之后再緩慢豎直下降到距月面高度僅為數(shù)米處，為避免激起更多月塵，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，做自由落體運(yùn)動(dòng)，落到月球表面．
已知引力常量為G，月球的質(zhì)量為M，月球的半徑為R，“嫦娥三號(hào)”在軌道I上運(yùn)動(dòng)時(shí)的質(zhì)量為m，P、Q點(diǎn)距月球表面的高度分別為h₁、h₂．
（1）求“嫦娥三號(hào)”在圓形軌道I上運(yùn)動(dòng)的速度大小；
（2）已知“嫦娥三號(hào)”與月心的距離為r時(shí)，引力勢(shì)能為$Ep=-\frac{GMm}{r}$（取無(wú)窮遠(yuǎn)處引力勢(shì)能為零），其中m為此時(shí)“嫦娥三號(hào)”的質(zhì)量．若“嫦娥三號(hào)”在軌道II上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，動(dòng)能和引力勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，它們的總量保持不變．已知“嫦娥三號(hào)”經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的速度大小為v，請(qǐng)根據(jù)能量守恒定律求它經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）在軌道I上圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，據(jù)此求得衛(wèi)星的線速度大小；
（2））根據(jù)機(jī)械能守恒由引力勢(shì)能的表達(dá)式，求得衛(wèi)星在P點(diǎn)的動(dòng)能，由動(dòng)能求得速度大�。�

解答 解：（1）“嫦娥三號(hào)”在軌道I上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{Mm}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}=m\frac{v_1^2}{{R+{h_1}}}$
解得：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{R+{h_1}}}}$
（2）“嫦娥三號(hào)”在軌道II上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律：
$-\frac{GMm′}{R+{h}_{1}}+\frac{1}{2}m′{v}_{p}^{′2}=\frac{GMm′}{R+{h}_{2}}+\frac{1}{2}m′{v}^{2}$
據(jù)此解得：
${v}_{p}^{′}$=$\sqrt{{v^2}-\frac{2GM}{{R+{h_2}}}+\frac{2GM}{{R+{h_1}}}}$
答：（1）“嫦娥三號(hào)”在圓形軌道I上運(yùn)動(dòng)的速度大小為$\sqrt{\frac{GM}{{R+{h_1}}}}$；
（2）它經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{{v^2}-\frac{2GM}{{R+{h_2}}}+\frac{2GM}{{R+{h_1}}}}$．

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，求得衛(wèi)星的速度，衛(wèi)星由Q向P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受月球引力作用，滿(mǎn)足機(jī)械能守恒．