Question

20．如圖，在光滑水平桌面上，小物塊P₁、P₂分別靜止在A，B點，P₁的質量為2m，P₂的質量為m，長為l的細線一端固定在桌面上的O點、另一端系著P₂，開始時細線繃直且處于垂直于AB連線的方向上，細線能承受的最大拉力為F₀．光電計時器用來監(jiān)控AB連線上的C點并可記錄P₁、P₂通過C點的時間差，BC距離也為l，．現將一大小為$\frac{F_0}{2}$的水平恒力F作用在P₁上，P₁沿AB方向加速一段距離后撤去該力，之后P₁與P₂發(fā)生碰撞且碰后P₁總以碰前P₁的一半速度同向運動．
（1）若P₁、P₂碰撞時，細線恰好斷裂，求恒力F作用過程P₁的位移L與l之間的關系．
（2）若P₁、P₂碰撞后，P₂先繞O點運動一周，在細線碰到OB中點O 處的釘子時細線恰好斷裂，此后P₂沿BC方向飛出，求光電計時器記錄到的時間差t．

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求出P₁碰撞前的速度表達式，結合動量守恒求出碰撞后P₂的速度，結合拉力提供向心力，求出恒力F作用過程P₁的位移L與l之間的關系．
（2）抓住繩子恰好斷裂，根據牛頓第二定律求出速度的大小，根據動量守恒求出碰撞后P₂的速度，從而結合運動學公式求出光電計時器記錄到的時間差t．

解答 解：（1）設碰撞前P₁的速度為v₀，碰撞后P₂的速度為v，碰撞過程中動量守恒，則
$2m{v}_{0}=2m\frac{{v}_{0}}{2}+mv$…①
若P₁P₂碰撞時，細線剛好斷裂，則：
${F}_{0}=\frac{m{v}^{2}}{l}$…②
根據動能定理有：$\frac{{F}_{0}}{2}L=\frac{1}{2}2m{{v}_{0}}^{2}$…③
聯立①②③得，L=2l…④
（2）設碰撞前P₁的速度為v₀′，碰撞后P₂的速度為v′，碰撞過程動量守恒，則：
$2m{v}_{0}′=2m\frac{{v}_{0}′}{2}+mv′$…⑤
細線碰到釘子O′時恰好斷裂，則：
${F}_{0}=m\frac{v{′}^{2}}{\frac{l}{2}}$…⑥
解得：$v′=\sqrt{\frac{{F}_{0}l}{2m}}$…⑦
P₂繞O做勻速圓周運動的周期為：T=$\frac{2πl(wèi)}{v′}$…⑧
由題意可知：t=$T+\frac{l}{v′}-\frac{l}{\frac{{v}_{0}′}{2}}$…⑨
由⑤⑦⑧⑨解得：t=$（2π-1）\sqrt{\frac{2ml}{{F}_{0}}}$．
答：（1）恒力F作用過程P₁的位移L與l之間的關系為L=2l．
（2）光電計時器記錄到的時間差為$（2π-1）\sqrt{\frac{2ml}{{F}_{0}}}$．

點評 本題考查了動量守恒定律、動能定理、牛頓第二定律的綜合運用，綜合性較強，對學生要求較高，關鍵理清物體的運動規(guī)律，確定好研究的對象，選擇合適的規(guī)律進行求解．