Question

7．兩塊平行金屬板MN、PQ水平放置，兩板間距為d、板長為L，在緊靠平行板右側(cè)的等邊三角形區(qū)域內(nèi)存在著垂直紙面方向的勻強(qiáng)磁場，三角形底邊BC與PQ在同一水平線上，頂點(diǎn)A與MN在同一水平線上．如圖所示，一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子沿兩板中心線以初速度v₀水平射入兩板間，如果在兩板間加某一恒定電壓，粒子離開電場后將垂直AB邊從D點(diǎn)進(jìn)人磁場并垂直AC邊射出．已知BD=$\frac{1}{4}$AB，不計(jì)粒子的重力．求
（1）兩板間的電壓．
（2）三角形區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）若兩板間不加電壓且三角形區(qū)域內(nèi)的磁場方向垂直紙面向外，則要使粒子進(jìn)入磁場區(qū)域后能從AB邊射出，試求所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求出電壓．
（2）粒子垂直進(jìn)入三角形區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)磁場后做勻速圓周運(yùn)動，畫出軌跡，由于粒子垂直AB邊射入和AC邊射出，由幾何知識求出粒子圓周運(yùn)動的半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出三角形區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值與最小值，然后確定其范圍．

解答 解：（1）粒子在兩塊平行金屬板間的電場中做類平拋運(yùn)動，
沿水平方向做勻速運(yùn)動，豎直方向做初速度為零的勻加速運(yùn)動．
粒子垂直AB邊進(jìn)入磁場，由幾何知識得，粒子離開電場時偏轉(zhuǎn)角θ=30°．
根據(jù)類平拋運(yùn)動的規(guī)律有：
L=v₀t ①
a=$\frac{qU}{md}$ ②
v_y=at  ③
$\frac{1}{2}$d=$\frac{1}{2}$at² ④
聯(lián)立①②③④解得：U=$\frac{\sqrt{3}md{v}_{0}^{2}}{3qL}$；
（2）由幾何關(guān)系得：L_AB=$\fracmblzcgu{cos30°}$，r=$\frac{3}{4}$L_AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$d ⑤
粒子進(jìn)入磁場時的速率為：v=$\frac{{v}_{0}}{cos30°}$   ⑥
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ⑦
聯(lián)立⑤⑥⑦解得：B=$\frac{4m{v}_{0}}{3qd}$；
（3）當(dāng)粒子剛好與BC相切，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小．
磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值為B₂，由幾何關(guān)系知，
對應(yīng)粒子的最大軌道半徑r₂為：r₂=$\frac{1}{4}$d
根據(jù)向心力公式有：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得：B₂=4$\frac{m{v}_{0}}{qd}$，
答：（1）兩金屬板間電壓為U=$\frac{\sqrt{3}md{v}_{0}^{2}}{3qL}$；
（2）三角形區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{4m{v}_{0}}{3qd}$；
（3）要使粒子進(jìn)入磁場區(qū)域后能從AB邊射出，試求所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值為4$\frac{m{v}_{0}}{qd}$．

點(diǎn)評 本題粒子先在電場中偏轉(zhuǎn)，運(yùn)用運(yùn)動的分解法研究；后在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，畫軌跡、幾何知識求出半徑是常用的方法和思路．