Question

14．如圖所示，小物塊A、B由跨過(guò)定滑輪的輕繩相連，A置于傾角為37°的光滑固定斜面上，B位于水平傳送帶的左端，輕繩分別與斜面、傳送帶平行．傳送帶始終以速度v₀=2m/s順時(shí)針勻速傳動(dòng)，某時(shí)刻B從傳送帶左端以速度v₁=6m/s向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)一段時(shí)間回到傳送帶的左端．已知A、B質(zhì)量均為1kg，B與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，斜面、輕繩、傳送帶均足夠長(zhǎng)，A不會(huì)碰到定滑輪，定滑輪的質(zhì)量與摩擦均不計(jì)．g取10m/s²，sin37°=0.6．求：
（1）B向右運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t；
（2）B回到傳送帶最左端時(shí)物體A的重力的功率P．（計(jì)算結(jié)果可用根號(hào)表示）

Answer 1

分析 （1）B向右運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中分別以A與B為研究的對(duì)象，結(jié)合牛頓第二定律先求出加速度，然后由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）B向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中B為研究的對(duì)象，結(jié)合牛頓第二定律先求出加速度，然后由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出B回到傳送帶左端的速度，再由P=Fv即可求出功率．

解答 解：（1）B向右運(yùn)動(dòng)減速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，剛開(kāi)始時(shí)，B的速度大于傳送帶的速度，以B為研究的對(duì)象，水平方向B受到向左的摩擦力與A對(duì)B的拉力，設(shè)AB之間繩子的拉力為T₁，以向左為正方向，得：T₁+μmg=ma₁…①
以A為研究的對(duì)象，則A的加速度的大小始終與B是相等的，A向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中受力如圖，則：

mgsin37°-T₁=ma₁…②…
聯(lián)立①②可得：${a}_{1}=\frac{gsin37°+μg}{2}=\frac{10×0.6+0.2×10}{2}=4m/{s}^{2}$…③
B的速度與傳送帶的速度相等時(shí)所用的時(shí)間：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}-{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{-2-（-6）}{4}=1s$
當(dāng)B的速度與傳送帶的速度相等之后，B仍然做減速運(yùn)動(dòng)，而此時(shí)B的速度小于傳送帶的速度，所以受到的摩擦力變成了向右，所以其加速度也發(fā)生了變化，此后B向右運(yùn)動(dòng)減速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，設(shè)AB之間繩子的拉力為T₂，以B為研究的對(duì)象，水平方向B受到向右的摩擦力與A對(duì)B的拉力，則：
T₂-μmg=ma₂…④
以A為研究的對(duì)象，則A的加速度的大小始終與B是相等的，A向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中受力如圖，則：
mgsin37°-T₂=ma₂…⑤
聯(lián)立④⑤可得：${a}_{2}=\frac{gsin37°-μg}{2}=\frac{10×0.6-0.2×10}{2}=2m/{s}^{2}$
當(dāng)B向右達(dá)到最右端時(shí)的速度等于0，再經(jīng)過(guò)時(shí)間：${t}_{2}=\frac{0-{v}_{0}}{{a}_{2}}=\frac{0-（-2）}{2}=1s$
B向右運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t=t₁+t₂=1s+1s=2s
（2）B向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，受到的摩擦力的方向仍然向右，仍然受到繩子的拉力，同時(shí)，A受到的力也不變，所以它們受到的合力不變，所以B的加速度${a}_{3}={a}_{2}=2m/{s}^{2}$
t₁時(shí)間內(nèi)B的位移：${x}_{1}=\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}{t}_{1}=\frac{-2-6}{2}×1=-4m$，負(fù)號(hào)表示方向向右；
t₂時(shí)間內(nèi)B的位移：${x}_{1}=\frac{{v}_{0}+0}{2}{t}_{1}=\frac{-2}{2}×1=-1m$，負(fù)號(hào)表示方向向右；
B的總位移：x=x₁+x₂=-4-1=-5m
B回到傳送帶左端的位移：x₃=-x=5m
速度：$v=\sqrt{2{a}_{3}{x}_{3}}=2\sqrt{5}m/s$
對(duì)A物體，重力的功率：P=mgvsin37°
代入數(shù)據(jù)解得：$P=12\sqrt{5}W$
答：（1）B向右運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為2s；
（2）B回到傳送帶左端時(shí)物體A的重力的功率為$12\sqrt{5}$W．

點(diǎn)評(píng) 該題中，開(kāi)始時(shí)物體的速度大于傳送帶的速度，減速后的速度小于傳送帶的速度，所以傳送帶大于物體摩擦力的方向是不同的，則物體的加速度會(huì)發(fā)生變化．這是題目中容易錯(cuò)誤的地方．開(kāi)始時(shí)物體的速度大于傳送帶的速度，減速后的速度小于傳送帶的速度，所以開(kāi)始時(shí)物體相對(duì)于傳送帶向右運(yùn)動(dòng)，之后物體相對(duì)于傳送帶向左運(yùn)動(dòng)，難度適中．