Question

4．如圖所示，傳送帶水平部分長為1m，以v₀=4m/s的速度沿順時針方向勻速轉動，先將一質量為m的物體從光滑曲面由靜止釋放，滑到底端后水平自然進入傳送帶部分，并從傳送帶右端滑出．已知傳送帶上表面離地面的高度為1.25m，物體與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.4，物體從曲面上釋放的點離傳送帶的高度為h．求：
（1）當h=0.5m時物體從傳送帶右端拋出的水平距離；
（2）釋放點高度h不同時水平位移x也不同，試寫出x隨釋放點高度h變化的關系式．

Answer 1

分析 （1）設物體滑到曲面底端的速度為v，根據機械能守恒求出速度，再根據平拋運動基本公式結合動能定理列式求解；
（2）分三種情況，根據平拋運動基本公式以及動能定理列式求解．

解答 解：（1）設物體滑到曲面底端的速度為v，根據機械能守恒得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{2gh}=\sqrt{10}m/s$
由動能定理得：$μmgs=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：$s=\frac{14-10}{2×4}=0.75m$
因0.75m＜1m，故物體還未滑到右端時，速度就增加到4m/s，故
x=$\sqrt{\frac{2h}{g}}{v}_{0}=2m$
（2）根據判斷，可分為三種情況：
a、當h＜0.4m時，物體在傳送帶上加速到達傳送帶最右端時速度小于4m/s，設物體到最右端速度為v₁，
由動能定理得：$0.4mg×1=\frac{1}{2}m{{v}_{t}}^{2}-\frac{1}{2}m（\sqrt{2gh}）^{2}$
${v}_{t}=\sqrt{2gh+8}$
平拋水平位移x=$\frac{1}{2}\sqrt{2gh+8}$
b、當0.4m≤h≤1.2m時，物體運動到傳送帶最右端時，速度與傳送帶速度相等，故水平位移都是2m，
c、當h＞1.2m時，物體在傳送帶上減速到最右端時，速度大于4m/s，
$-0.4mg×1=\frac{1}{2}m{{v}_{t}}^{2}-\frac{1}{2}m{（\sqrt{2gh}）}^{2}$
解得：${v}_{t}=\sqrt{2gh-8}$
水平位移為x=$\frac{1}{2}\sqrt{2gh-8}$
綜上可知，x=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}\sqrt{2gh+8}（h＜0.4m）}\\{2m（0.4m≤h≤1.2m）}\\{\frac{1}{2}\sqrt{2gh-8}（h＞1.2m）}\end{array}\right.$
答：（1）當h=0.5m時物體從傳送帶右端拋出的水平距離為2m；
（2）x隨釋放點高度h變化的關系式為x=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}\sqrt{2gh+8}（h＜0.4m）}\\{2m（0.4m≤h≤1.2m）}\\{\frac{1}{2}\sqrt{2gh-8}（h＞1.2m）}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查了平拋運動基本公式、動能定理以及機械能守恒定律的直接應用，解題的關鍵是能正確判斷物體的運動情況，特別是第二問，要分三種情況分析，難度較大．