Question

【題目】（1）科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，除了類似太陽(yáng)系的恒星-行星系統(tǒng)，還存在許多雙星系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)它們的研究，使我們對(duì)宇宙有了較深刻的認(rèn)識(shí)。雙星系統(tǒng)是由兩個(gè)星體構(gòu)成，其中每個(gè)星體的線度（直徑）都遠(yuǎn)小于兩星體間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其它星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)做孤立系統(tǒng)處理。已知某雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M0，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G。

①求該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的線速度大小v；

②如果質(zhì)量分別為m1和m2的質(zhì)點(diǎn)相距為r時(shí)，它們之間的引力勢(shì)能的表達(dá)式為，求該雙星系統(tǒng)的機(jī)械能。

（2）微觀世界與宏觀世界往往存在奇妙的相似性。對(duì)于氫原子模型，因?yàn)樵�子核的質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子質(zhì)量，可以忽略原子核的運(yùn)動(dòng)，形成類似天文學(xué)中的恒星-行星系統(tǒng)，記為模型Ⅰ。另一種模型認(rèn)為氫原子的核外電子并非繞核旋轉(zhuǎn)，而是類似天文學(xué)中的雙星系統(tǒng)，核外電子和原子核依靠庫(kù)侖力作用使它們同時(shí)繞彼此連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，記為模型Ⅱ。假設(shè)核外電子的質(zhì)量為m，氫原子核的質(zhì)量為M，二者相距為r，靜電力常量為k，電子和氫原子核的電荷量均為e。已知電荷量分別為+q1和-q2的點(diǎn)電荷相距為r時(shí)，它們之間的電勢(shì)能的表達(dá)式為。

①模型Ⅰ、Ⅱ中系統(tǒng)的能量分別用EⅠ、 EⅡ表示，請(qǐng)推理分析，比較EⅠ、 EⅡ的大小關(guān)系；

②模型Ⅰ、Ⅱ中電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度分別用vⅠ、vⅡ表示，通常情況下氫原子的研究采用模型Ⅰ的方案，請(qǐng)從線速度的角度分析這樣做的合理性。

Answer 1

【答案】（1）①②（2）①②模型Ⅰ的簡(jiǎn)化是合理的

【解析】（1）①，解得

②雙星系統(tǒng)的動(dòng)能，雙星系統(tǒng)的引力勢(shì)能，該雙星系統(tǒng)的機(jī)械能E=Ek+Ep=

（2）①對(duì)于模型Ⅰ：，此時(shí)電子的動(dòng)能EkⅠ=

又因電勢(shì)能，所以EⅠ= EkⅠ+EpⅠ=

對(duì)于模型Ⅱ：對(duì)電子有： ， 解得

對(duì)于原子核有： ， 解得

因?yàn)?/span>r1+r2=r，所以有

解得EkⅡ=

又因電勢(shì)能，所以EⅡ= EkⅡ+EpⅡ=

即模型Ⅰ、Ⅱ中系統(tǒng)的能量相等，均為

②解法一：

模型Ⅰ中：對(duì)于電子繞原子核的運(yùn)動(dòng)有，解得

模型Ⅱ中：

對(duì)電子有： ， 解得

對(duì)于原子核有： ，

因ω1=ω2，所以mvⅡ=Mv

又因原子核的質(zhì)量M遠(yuǎn)大于電子的質(zhì)量m，所以vⅡ>>v，所以可視為M靜止不動(dòng)，因此ω1=ω2=ω，即可視為vⅠ=vⅡ。故從線速度的角度分析模型Ⅰ的簡(jiǎn)化是合理的。

②解法二：

模型Ⅰ中：對(duì)于電子繞原子核的運(yùn)動(dòng)有，解得

模型Ⅱ中：

庫(kù)侖力提供向心力： ………..（1）

解得；

又因?yàn)?/span>r1+r2=r所以

帶入（1）式： ，

所以：

又因原子核的質(zhì)量M遠(yuǎn)大于電子的質(zhì)量m，所以vⅡ>>v，所以可視為M靜止不動(dòng)；故從線速度的角度分析模型Ⅰ的簡(jiǎn)化是合理的。