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6.如圖,半徑為R的14圓弧支架固定在桌面上,距離圓弧邊緣C處高度為R3的D處固定一小定滑輪,一繞過定滑輪的輕繩兩端系著質(zhì)量分別為2m與m的小球a和b(均可視為質(zhì)點),開始時,讓a位于C處.不計一切摩擦,繩子足夠長,回答:
(1)如果剪斷DC間的繩子,讓小球a在C處從靜止開始沿支架自由滑下
①測得小球落地E處與桌子的水平距離EB等于2R,試求桌子AB的高度h;
②設(shè)小球a從C滑到A處的時間t1,從A運動到E的時間為t2,試比較t1、t2的大小,并說明理由;
(2)如果不剪斷繩子,讓小球a在C處從靜止開始沿支架滑下,求從C到A過程中繩子拉力對a球所做的功

分析 (1)①小球在CA之間運動的過程中只有重力做功,由機(jī)械能守恒定律即可求出小球到達(dá)A時的速度,然后結(jié)合平拋運動的特點即可求出桌面的高度;
②小球在CA之間的運動類似于單擺,可以由單擺的周期公式求出時間;小球做平拋運動的時間與高度h有關(guān),求出后比較即可.
(2)如果不剪斷繩子,讓小球a在C處從靜止開始沿支架滑下,則運動的過程中a與b組成的系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒,將小球a在A點的速度分解,求出a與B的速度關(guān)系,然后結(jié)合動能定理即可求出結(jié)果.

解答 解:(1)①剪斷DC間的繩子球a在C到A的過程中機(jī)械能守恒,則:122mv21=2mgR
得:v1=2gR
小球離開桌面后做平拋運動水平方向:2R=v1•t2
所以:t2=2Rv1=2R2gR=2Rg
則桌面的高度:h=12gt22=12g×2Rg=R
②小球在CA之間的運動類似于單擺運動,從C到的時間是14T,所以:
{t}_{1}=\frac{1}{4}•2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}=\frac{π}{2}•\sqrt{\frac{R}{g}}>{t}_{2}=\sqrt{\frac{2R}{g}}
(2)如果不剪斷繩子,讓小球a在C處從靜止開始沿支架滑下的過程中b向上運動,由于不計一切摩擦,則a與b組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.
將小球a在A點的速度沿繩子的方向和垂直于繩子的方向分解,如圖,則沿繩子方向的分速度與小球b的速度的大小是相等的,則:

由圖中幾何關(guān)系可知:tanθ=\frac{R+\frac{R}{3}}{R}=\frac{4}{3},\frac{R}{\overline{AD}}=cosθ
所以:θ=53°,\overline{AD}=\frac{5R}{3}
由圖中幾何關(guān)系:vacosθ=vb
所以:vb=0.6va
又小球a在C處從靜止沿支架滑下的過程中a與b組成的系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒得:
2m•gR-mg(\overline{AD}-\frac{R}{3})=\frac{1}{2}•2m{v}_{a}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_^{2}
聯(lián)立以上方程得:{v}_{a}=0.75\sqrt{gR}
小球a在C到A的過程中受到重力、支持力和繩子的拉力,支持力不做功,由動能定理得:
2mgR+{W}_{繩子}=\frac{1}{2}•2m{v}_{a}^{2}-0
所以:{W}_{繩子}=-\frac{25}{16}mgR
答:(1)①測得小球落地E處與桌子的水平距離EB等于2R,桌子AB的高度是R;
②設(shè)小球a從C滑到A處的時間t1,從A運動到E的時間為t2,則t1>t2;
(2)如果不剪斷繩子,讓小球a在C處從靜止開始沿支架滑下,從C到A過程中繩子拉力對a球所做的功是-\frac{25}{16}mgR

點評 該題中的兩問實際對應(yīng)的是兩種不同的情況,第一種的情況比較簡單,而第二種的情況下,小球a與小球b的速度大小是不相等的,需要將a的速度分解后才能使用動能定理或機(jī)械能守恒定律,這是題目的難點,也是非常容易出錯的地方,要特別注意.

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