Question

10．如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，沿y軸放置一平面熒光屏，在y＞0，0＜x＜0.5m的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.5T．在原點(diǎn)O放一個(gè)開有小孔粒子源，粒子源能同時(shí)放出比荷為$\frac{q}{m}$=4.0×10⁶kg/C的不同速率的正離子束，沿與x軸成30°角從小孔射入磁場(chǎng)，最后打在熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮．入射正離子束的速率在0到最大值v_m=2.0×10⁶m/s的范圍內(nèi)，不計(jì)離子之間的相互作用，也不計(jì)離子的重力．
（1）求離子從粒子源放出到打到熒光屏上所用的時(shí)間；
（2）求離子打到熒光屏上的范圍；
（3）實(shí)際上，從O點(diǎn)射入的正離子束有一定的寬度，設(shè)正離子將在與x軸成30°～60°角內(nèi)進(jìn)入磁場(chǎng)，則某時(shí)刻（設(shè)為t=0時(shí)刻）在這一寬度內(nèi)向各個(gè)方向射入各種速率的離子，經(jīng)過$\frac{5π}{3}$×10^-7s時(shí)這些離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積是多大？

Answer 1

分析 （1）由幾何關(guān)系確定粒子轉(zhuǎn)過的圓心角，再由周期公式可求得所用時(shí)間；
（2）離子進(jìn)入磁場(chǎng)后由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)公式求出離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)最大的軌道半徑r_m，畫出軌跡如下左圖所示，由幾何關(guān)系求出離子打到熒光屏上的范圍．
（3）分析與x軸成60°方向入射的離子的軌跡，經(jīng)過時(shí)間t=$\frac{5π}{3}×{10^{-7}}$s時(shí)，離子轉(zhuǎn)過的圓心角為$φ=\frac{2π}{T}t=\frac{π}{3}$剛好打在y軸上，則知這些速率不同的離子，都打在y軸上．作出離子可能出現(xiàn)的區(qū)域范圍，由幾何知識(shí)求出面積．

解答 解：（1）離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的周期為T=$\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{2π}{0.5×4×1{0}^{6}}$=3.14×10^-6s；
由幾何關(guān)系知，能夠打在熒光屏上的離子從粒子源放出到打在熒光屏上轉(zhuǎn)過的圓心角均為$\frac{2π}{3}$；
故離子從粒子源放出到打在熒光屏所用時(shí)間t=$\frac{α}{2π}$T=$\frac{π}{3}$×10^-6s；
（2）由$qvB=\frac{{m{v^2}}}{r}$得，$r=\frac{mv}{qB}，{r_m}=\frac{{m{v_m}}}{qB}=1m$
離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)最大軌道半徑：r_m=1m
由幾何關(guān)系知，最大速度的離子剛好沿磁場(chǎng)邊緣打在熒光屏上，如左圖所示．
所以O(shè)A₁長(zhǎng)度為：$y=2rcos{30^0}=\sqrt{3}$m
即離子打到熒光屏上的范圍為：$[{0，\sqrt{3}m}]$
（3）由幾何關(guān)系知，與x軸成60°方向入射的離子，經(jīng)過時(shí)間：t=$\frac{5π}{3}×{10^{-7}}$s時(shí)離子轉(zhuǎn)過的圓心角為$φ=\frac{2π}{T}t=\frac{π}{3}$剛好打在y軸上，將t=$\frac{5π}{3}×{10^{-7}}$s時(shí)刻這些離子所在坐標(biāo)連成曲線，方程就是：x=0即都打在y軸上，所以在t=0時(shí)刻與x軸成30°～60°內(nèi)進(jìn)入磁場(chǎng)的正離子在t=$\frac{5π}{3}×{10^{-7}}$s時(shí)刻全部出現(xiàn)在以O(shè)為圓心的扇形OA₂C₁范圍內(nèi)．如圖
則離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積：$S=\frac{{π{r_m}^2}}{12}=\frac{π}{12}{m^2}≈0.26{m^2}$
答：
（1）離子從粒子源放出到打到熒光屏上所用的時(shí)間為$\frac{π}{3}$×10^-6s；
（2）離子打到熒光屏上的范圍為[0，$\sqrt{3}m$]．
（3）經(jīng)過$\frac{5π}{3}×{10^{-7}}$s時(shí)這些離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積為0.26m²．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在有界的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，要充分運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)畫軌跡，確定軌跡的圓心角，運(yùn)用參數(shù)方程求出離子的軌跡方程．