Question

如圖所示，邊長為3L的等邊三角形APC區(qū)域存在垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B．D、E、F三點分別在PC、CA、AP邊上，AF=PD=CE=L．現(xiàn)有一質量為m、電荷量為q的帶正電離子（不計重力），從F點以速度v向三角形內(nèi)射人．
（1）如果速度v方向與PC邊平行，離子第一次到分界線就經(jīng)過D點，則速度v的大小是多少？
（2）保持速度v的方向與PC邊平行，改變速度v的大小，試求PC邊上離子出射的可能范圍（要求明確PC邊上離子出射的范圍左右端點分別與P點的距離）．
（3）假設三角形區(qū)域外存在磁感應強度大小同為B，方向垂直于紙面向里的勻強磁場，且磁場區(qū)域足夠大．改變速度的大小和方向（速度的方向均在紙平面內(nèi)），使離子第一次、第二次到達分界線時依次經(jīng)過D點和E點．求離子周期性運動的周期．

Answer 1

分析：（1）畫出粒子在磁場中的運動軌跡，根據(jù)幾何關系確定粒子圓周運動的半徑與三角形區(qū)域的關系；
（2）同樣是根據(jù)粒子在磁場中勻速圓周運動的臨界軌跡，利用幾何關系求出粒子圓周運動的半徑，從而求出粒子在PC邊上射出的可能范圍；
（3）根據(jù)粒子在磁場中做圓周運動，能使離子第一次、第二次達到分界線時依次經(jīng)過D點和E點，根據(jù)左手定則由磁場方向確定粒子的繞行方向，從而作出粒子滿足題意的運動軌跡，再根據(jù)幾何關系求出粒子完成一個周期性運動所需時間即可．

解答：解：（1）帶是離子的運動軌跡如圖所示，可得圓周運動的半徑為：
r=

FD

2

=

(2L)2-L2

2

=

3

2

L
根據(jù)洛倫茲力提供向心力：
qvB=m

v2

r

可得：v=

qBr

m

=

3 qBL

2m

（2）帶電離子從PC邊射出的兩條臨界運動軌跡如圖所示：
由圖可知離子在PC邊上出射的左端點為D，得：PD=L；
離子在PC邊上出射的右端點為G，得：PG=L+r₂
由幾何關系可得：r2=FD=

(2L)2-L2

=

3

L
所以可得：PG=(

3

+1)L
PC邊上離子出射的可能范圍為D點的右側到G點之間；
（3）連接DEF，可得△DEF是等邊三角形，當離子沿∠DFE的角平分線方向射入時，離子才能依次經(jīng)過D點、E點，其運動各段軌跡依次是a、b、c、d、e、f回到F點，完成一個周期性運動，如圖所示：
離子一個周期運動的路徑為3個圓的周長，所以其運動的周期
T=

6πm

qB

答：（1）如果速度v方向與PC邊平行，離子第一次到分界線就經(jīng)過D點，則速度v的大小為

3 qBL

2m

（2）保持速度v的方向與PC邊平行，改變速度v的大小，試求PC邊上離子出射的可能范圍為D到G點之間即距P點的距離范圍為[L，

3

L]
（3）假設三角形區(qū)域外存在磁感應強度大小同為B，方向垂直于紙面向里的勻強磁場，且磁場區(qū)域足夠大．改變速度的大小和方向（速度的方向均在紙平面內(nèi)），使離子第一次、第二次到達分界線時依次經(jīng)過D點和E點．離子周期性運動的周期為

6πm

qB

．

點評：磁場中粒子受洛倫茲力提供圓周運動，關鍵是理解題目給出的條件，作出粒子運動的軌跡，利用幾何關系求出粒子滿足條件的運動半徑，從而求出題目中的未知量，這是解決此類問題的關鍵和入手點．由幾何關系得出物理量間的關系是一個基本能力．