Question

如圖AB和CD是兩根特制的、完全相同的電阻絲，豎直地固定在地面上，上端用電阻不計(jì)的導(dǎo)線相接，兩電阻絲間距為L(zhǎng)，有一根質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的金屬棒，跨在AC兩點(diǎn)間處于x軸原點(diǎn)，與電阻絲接觸良好且無(wú)摩擦，空間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，放開(kāi)金屬棒，它將加速下滑．求：
（1）電阻絲的電阻值應(yīng)跟位移x的平方根成正比，即R=k

x

（k為一常數(shù)）試用假設(shè)法證明棒開(kāi)始下落后是做勻加速運(yùn)動(dòng)．
（2）在棒做勻加速直線時(shí)若L=1m，B=1T，m=

1

5

kg，k=

1

5

Ωm

1

2

．則
①棒下落的加速度a
②棒下落1米位移過(guò)程式中電阻上的電功W．

Answer 1

分析：（1）由牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，以及法拉第電磁感應(yīng)定律來(lái)相結(jié)合，運(yùn)用假設(shè)法證明可得；
（2）根據(jù)上題的證明結(jié)論，并結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律與電量的表達(dá)式，最后通過(guò)能量守恒定律，從而能一一解決問(wèn)題．

解答：解：（1）棒從靜止釋放后受重力而加速度下落，速度v增大，棒切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)E=BLv增大，但連入電路中的電阻長(zhǎng)度也增大故電路中電阻增大，因而電路中的電流及安培力的變化不便簡(jiǎn)單判定；
對(duì)棒下落中的任一時(shí)刻將有：mg-BL

BLv

2R

=ma
  即mg-BL

BL

2k x

=ma
①假設(shè)棒ab作勻速直線運(yùn)動(dòng)；則棒運(yùn)動(dòng)的加速度a=0，即mg=BL

BLv

2k x

，式中B、L、V、m、k均為定值，故位移x必定值；但由于是棒的向下勻速運(yùn)動(dòng)將使位移x=vt隨時(shí)間而變化：故三者矛盾而說(shuō)明不可能羅勻速直線運(yùn)動(dòng)．
②假設(shè)棒作加速度增大的加速下落；由前知必有BL

BLv

2k x

減小，故棒的加速度最終將增大為a=g，此時(shí)必有BL

BLv

2k x

=0，由于B、L、x均不為0且k為常數(shù)，故有當(dāng)棒的加速度a=g時(shí)棒的速度v=0；但由于棒運(yùn)動(dòng)中a，v同向，棒的速度將來(lái)斷增大；二者矛盾而說(shuō)明棒不可能作加速度增大的加速直線運(yùn)動(dòng)．
③假設(shè)棒作加速度減小的加速下落：必有BL

BLv

2k x

增大，故棒的加速度最終將減小為a=0時(shí)，棒以mg=BL

BLv

2k x

得，v=

2kmg x

(BL)2

而勻速直線運(yùn)動(dòng)；但由于棒運(yùn)動(dòng)中x將來(lái)斷增大而使棒速度變化；故二者矛盾而說(shuō)明棒不可能作加速度減小的加速直線運(yùn)動(dòng)．
④由此可見(jiàn)：導(dǎo)體棒必作勻加速直線下落．
（2）①將數(shù)據(jù)代入mg-BL

BLv

k2 x

=ma得
  a=10-

5v

2 x

…（A）；
再因棒勻加速運(yùn)動(dòng)故有v=

2ax

…（B）
將（B）式代入（A）有a=10-

5 2ax

2 x

=10-

5 2a

2

，
解之得棒的加速度為a=1.855m/s²；
②棒下落中電路中電阻相應(yīng)增大，因而其消耗的電能應(yīng)當(dāng)從能量的轉(zhuǎn)化與守恒定律得出：
 

1

2

mv2=mgx-E_R
又 v²=2ax
則得E_R=mx（g-a）
故此過(guò)程中電阻上的電功為E_R=1×1×（10-1.855）=8.145J
答：（1）證明略．
（2）a、棒下落的加速度a是1.855m/s²；
b、棒下落1米位移過(guò)程式中電阻上的電功W是8.145J．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了牛頓第二定律、法拉第電磁感應(yīng)定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、歐姆定律、能量守恒定律等規(guī)律，屬于力電綜合題．