Question

1．利用萬有引力定律可以測(cè)量天體的質(zhì)量．
（1）測(cè)地球的質(zhì)量
英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許，在實(shí)驗(yàn)室里巧妙地利用扭秤裝置，比較精確地測(cè)量出了引力常量的數(shù)值，他把自己的實(shí)驗(yàn)說成是“稱量地球的質(zhì)量”．
已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G．若忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，求地球的質(zhì)量．
（2）測(cè)“雙星系統(tǒng)”的總質(zhì)量
所謂“雙星系統(tǒng)”，是指在相互間引力的作用下，繞連線上某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)星球A和B，如圖所示．已知A、B間距離為L(zhǎng)，A、B繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期均為T，引力常量為G，求A、B的總質(zhì)量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力，結(jié)合地球表面的重力加速度和地球的半徑求出地球的質(zhì)量．
（2）雙星系統(tǒng)具有相同的加速度，抓住萬有引力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求出A、B的總質(zhì)量．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力等于重力得，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，解得地球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
（2）根據(jù)$G\frac{{m}_{A}{m}_{B}}{{L}^{2}}={m}_{A}{r}_{A}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，$G\frac{{m}_{A}{m}_{B}}{{L}^{2}}={m}_{B}{r}_{B}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
r_A+r_B=L，
聯(lián)立解得m_A+m_B=$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{G{T}^{2}}$．
答：（1）地球的質(zhì)量為$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
（2）A、B的總質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{G{T}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用，以及知道雙星系統(tǒng)的特點(diǎn)，周期相同，向心力大小相等．