Question

15．如圖甲所示，水平面內的直角坐標系的第一象限有磁場分布，方向垂直于水平面向下，磁感應強度沿y軸方向沒有變化，沿x軸方向B與x成反比，如圖乙所示．頂角θ=45°的光滑金屬長導軌MON固定在水平面內，ON與x軸重合，一根與ON垂直的長導體棒在水平向右的外力作用下沿導軌向右滑動，導體棒在滑動過程中始終與導軌接觸．已知t=0時，導體棒位于頂點O處，導體棒的質量為m=1kg，回路接觸點總電阻恒為R=0.5?，其余電阻不計．回路電流I與時間t的關系如圖丙所示，圖線是過原點的直線．求：

（1）t=2s時回路的電動勢E；
（2）0-2s時間內流過回路的電荷量q和導體棒的位移s；
（3）導體棒滑動過程中水平外力F的瞬時功率P（單位：W）與橫坐標x（單位：m）的關系式．

Answer 1

分析 （1）由I-t圖象讀出t=2s時的感應感應電流得大小，再由E=IR求出電動勢．
（2）根據感應電流圖象的面積表示電量，用歐姆定律和安培力表達式確定棒的運動性質，結合運動學知識求解．
（3）運用牛頓第二定律求解F的表達式，有運動公式確定位移表達式，最后確定關系．

解答 解：（1）根據I-t圖象中的圖線是過原點的直線特點I=2t，可得到t=2s時金屬棒產生的感應電流為：I=4A
由歐姆定律得：E=IR=4×0.5=2V
（2）流過回路中的電流為圖象與時間軸圍成的面積：q=$\frac{1}{2}$×2×4=4C，對回路由歐姆定律得：$I=\frac{E}{R}=\frac{BLv}{R}$，而L=xtan45°=x，由B-x圖象可知：B=$\frac{1}{x}$，
解得電流：I=$\frac{\frac{1}{x}xv}{R}$=$\frac{v}{R}$，由（1）知：I=2t，則由：v=2Rt=t，根據加速度定義式：a=$\frac{△v}{△t}$=1m/s²，故導體棒做勻加速運動，位移：$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×1×{2}^{2}=2m$．
（3）對導體棒受力分析得：F-F_安=ma，解得：$F=ma+\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}=1×1+\frac{（\frac{1}{x}）^{2}{x}^{2}v}{0.5}=1+$2v，根據位移速度關系得：2ax=v²，解得：$v=\sqrt{2ax}=\sqrt{2x}$，
根據功率公式：$P=Fv=（1+2\sqrt{2x}）\sqrt{2x}=4x+\sqrt{2x}$W，
答：（1）t=2s時回路的電動勢E為2V；
（2）0-2s時間內流過回路的電荷量q為4C，導體棒的位移s為2m；
（3）導體棒滑動過程中水平外力F的瞬時功率P與橫坐標x的關系式為$P=（4x+\sqrt{2x}）W$

點評 本題的關鍵首先要正確理解兩個圖象的數學意義，運用數學知識寫出電流與時間的關系，要掌握牛頓運動定律、閉合電路毆姆定律，安培力公式、感應電動勢公式．