Question

3．如圖所示，繃緊的傳送帶．始終以2m/s的速度勻速斜向上運(yùn)行，傳送帶與水平方向間的夾角θ=30°，現(xiàn)把質(zhì)量為10kg的工件輕輕地放在傳送帶底端P，由傳送帶傳送至頂端Q，已知PQ之間的距離為4m，工作與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，取g=10m/s²．
（1）求工件在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的平均速度．
（2）若傳送帶與水平方向的夾角為60°，轉(zhuǎn)動(dòng)方向反向，速度大小不變，把工件放在Q處，求工件在傳送帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)于傳送帶滑行的位移．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出工件在傳送帶上勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度，根據(jù)速度時(shí)間公式求出速度達(dá)到傳送帶速度經(jīng)歷的時(shí)間，根據(jù)速度位移公式求出勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移，從而得出勻速運(yùn)動(dòng)的位移，求出勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合總位移和總時(shí)間，求出工件在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的平均速度．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出速度相等時(shí)，兩者的相對(duì)位移大小，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出物塊與傳送帶速度相等到滑到底端時(shí)的相對(duì)位移大小，從而得出全程相對(duì)傳送帶滑行的距離．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律得，勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度a=$\frac{μmgcos30°-mgsin30°}{m}$=μgcos30°-gsin30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}-10×\frac{1}{2}$=2.5m/s²．
則工件勻加速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{2}{2.5}s=0.8s$，勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移${x}_{1}=\frac{{v}^{2}}{2a}=\frac{4}{2×2.5}m=0.8m$，
勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{2}=\frac{L-{x}_{1}}{v}=\frac{4-0.8}{2}s=1.6s$，
則工件在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的平均速度$\overline{v}=\frac{L}{{t}_{1}+{t}_{2}}=\frac{4}{0.8+1.6}m/s≈$1.67m/s．
（2）根據(jù)牛頓第二定律得，物塊向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度${a}_{1}=\frac{mgsin60°+μmgcos60°}{m}$=$gsin60°+μgcos60°=5\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}×10×\frac{1}{2}$=$7.5\sqrt{3}m/{s}^{2}$，
速度相等經(jīng)歷的時(shí)間${t}_{3}=\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{2}{7.5\sqrt{3}}s$，
相對(duì)位移的大小$△x=v{t}_{3}-\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=2×\frac{2}{7.5\sqrt{3}}-\frac{4}{15\sqrt{3}}$m=$\frac{4}{15\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{45}$m，
物塊繼續(xù)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移${x}_{2}=L-\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=4-\frac{4}{15\sqrt{3}}m$，
繼續(xù)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小a₂=gsin60°-μgcos60°=$5\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}×10×\frac{1}{2}=2.5\sqrt{3}m/{s}^{2}$，
根據(jù)${x}_{2}=v{t}_{4}+\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{4}}^{2}$得，代入數(shù)據(jù)解得t₄=0.95s．
則相對(duì)位移的大小△x₂=x₂-vt₄，代入數(shù)據(jù)解得△x₂=1.95m，
因?yàn)椤鱴₂＞△x，開始相對(duì)傳送帶向上滑動(dòng)，再相對(duì)于傳送帶向下滑動(dòng)，則相對(duì)于傳送帶滑行的位移為△X=△x₂=1.95m．
答：（1）工件在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的平均速度為1.67m/s；
（2）工件在傳送帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)于傳送帶滑行的位移為1.95m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清工件在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，本題分析工件運(yùn)動(dòng)規(guī)律較復(fù)雜，增加了題目的難度．