Question

5．如圖所示，在坐標(biāo)系y右側(cè)存在一寬度為a、垂直紙面向外的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B；在y左側(cè)存在與y軸正方向成θ=45°角的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一個(gè)粒子源能釋放質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，粒子的初速度可以忽略．粒子源在點(diǎn)P（-a，-a）時(shí)發(fā)出的粒子恰好垂直磁場(chǎng)邊界EF射出；將粒子源沿直線PO移動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)，所發(fā)出的粒子恰好EF與x軸的交點(diǎn)射出．不計(jì)粒子的重力及粒子間相互作用力．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（2）粒子源在Q點(diǎn)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度和從發(fā)射到第二次進(jìn)入磁場(chǎng)所用的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律列方程聯(lián)立求解E的大小；
（2）粒子恰好不能從EF射出時(shí)與邊界EF相切，由幾何知識(shí)求得圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，幾何公式t=$\frac{θ}{2π}$T求出圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，進(jìn)而求得運(yùn)動(dòng)的三階段的總時(shí)間．

解答 解：（1）粒子源在P點(diǎn)時(shí)，粒子在電場(chǎng)中被加速，根據(jù)動(dòng)能定理有：
qE•$\sqrt{2}$a=$\frac{1}{2}$mv₁²，解得：v₁=$\sqrt{\frac{2\sqrt{2}qEa}{m}}$，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)牛頓第二定律有：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$，
由幾何關(guān)系知，R₁=$\sqrt{2}$a，
聯(lián)立解得：E=$\frac{\sqrt{2}q{B}^{2}a}{2m}$；
（2）粒子源在Q點(diǎn)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡與邊界EF相切，
由幾何關(guān)系知R₂=（2-$\sqrt{2}$）a，
根據(jù)牛頓第二定律 有：qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$，
磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)速度為：v₂=$\frac{（2-\sqrt{2}）qBa}{m}$，
粒子在Q點(diǎn)射出，開始的電場(chǎng)中加速運(yùn)動(dòng)：t₁=$\frac{{v}_{2}}{a}$=$\frac{（2-\sqrt{2}）qB}{m}$，
進(jìn)入磁場(chǎng)后運(yùn)動(dòng)四分之三個(gè)圓周：t₂=$\frac{3}{4}$T=$\frac{3πm}{2qB}$，
第一次出磁場(chǎng)后進(jìn)入電場(chǎng)，作類平拋運(yùn)動(dòng)：t₃=$\frac{2{v}_{2}}{a}$=$\frac{2（2-\sqrt{2}）m}{qB}$，
粒子從發(fā)射到第二次進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（12+3π-6\sqrt{2}）m}{2qB}$；
答：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為$\frac{\sqrt{2}q{B}^{2}a}{2m}$；
（2）粒子源在Q點(diǎn)時(shí)，粒子從發(fā)射到第二次進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間為$\frac{（12+3π-6\sqrt{2}）m}{2qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后分階段根據(jù)動(dòng)能定理，牛頓第二定律列式求解．