Question

1．登月探測(cè)器由地球出發(fā)經(jīng)地月轉(zhuǎn)移軌道靠近月球后，先在近月圓軌道上繞月運(yùn)行，繼而經(jīng)過一系列減速過程后將包圍在探測(cè)器外面的氣囊充氣再落向月球，落月后再經(jīng)過多次彈跳最終靜止在平坦的月球表面上．已知探側(cè)器第一次著月彈起到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離月球表面的高度為h，速度方向是水平的，速度大小為v₀，第二次著月點(diǎn)到第一次彈起最高點(diǎn)的水平距離為x，月球半徑為r．
（1）求月球表面的重力加速度的大小g_月；
（2）忽略探測(cè)器近月圓軌道距月表的高度，求其近月繞行的速度大小v和周期T．

Answer 1

分析 （1）探測(cè)器第一次落到月球表面彈起后，到達(dá)最高點(diǎn)的高度為h，此后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律求解．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力結(jié)合向心力公式求解線速度和周期．

解答 解：（1）探測(cè)器第一次落到月球表面彈起后，到達(dá)最高點(diǎn)的高度為h，此后做平拋運(yùn)動(dòng)，
則水平方向有：t=$\frac{x}{{v}_{0}}$，
豎直方向有：h=$\frac{1}{2}{g}_{月}{t}^{2}$
解得：g_月=$\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{x}^{2}}$
（2）根據(jù)月球表面，萬有引力等于重力結(jié)合向心力公式得：
mg_月=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：v=$\sqrt{{g}_{月}r}=\sqrt{\frac{2h{{v}_{0}}^{2}r}{{x}^{2}}}$，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}r{x}^{2}}{2h{{v}_{0}}^{2}}}$
答：（1）月球表面的重力加速度的大小g_月為$\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{x}^{2}}$；
（2）忽略探測(cè)器近月圓軌道距月表的高度，其近月繞行的速度大小v為$\sqrt{\frac{2h{{v}_{0}}^{2}r}{{x}^{2}}}$，周期T為$\sqrt{\frac{4{π}^{2}r{x}^{2}}{2h{{v}_{0}}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是知道探測(cè)器第一次落到月球表面彈起到達(dá)最高點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，能根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律結(jié)合萬有引力提供向心力公式求解，難度適中．