Question

12．如圖所示，質量分別為M和m的物塊用一根不可伸長的細繩通過定滑輪連接，m放在傾角為θ的固定光滑斜面上，θ=30°，穿過豎直桿的物塊M可沿桿無摩擦地下滑．已知m=2kg，M=3m，開始時將M抬高到A點，使細繩水平，此時OA段繩長為4米，AB間距離為3米，使M由靜止開始下滑，求：
（1）當M下滑至B點時的速度：
（2）M由A運動到B的過程細繩對M做的功（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）本題的關鍵是：（1）M和m組成的系統(tǒng)機械能守恒，而M或m的機械能不守恒，（2）物體m上滑的位移為繩長OB與OA之差．
（2）由動能定理可求得拉力所做的功．

解答 解：物體m上升過程中，不只是重力做功，繩子拉力做正功，所以物體m的機械能不守恒，根據(jù)功能關系“除重力以外其它力做的功等于物體機械能的變化”可知物體m的機械能增加，且增加的機械能等于繩子拉力對物體m做的功．
由于兩個物體組成的系統(tǒng)在運動過程中只有重力做功，系統(tǒng)機械能守恒，設M到B點時速度v₁，m的速度為v₂，則有：
Mgh-mg（OB-OA）sinθ=$\frac{1}{2}$M${v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$…①
由圖可知OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=5m，
所以sin∠AOB=$\frac{AB}{OB}$=0.6，即∠AOB=37°，再根據(jù)速度的分解，把v₁沿OB方向分解，有：
v₂=v₁sin37°…②
聯(lián)立①②并代入數(shù)據(jù)解得：v₁=7m/s．
（2）M由A到B的過程，設細繩對M做的功為WT，根據(jù)動能定理得：
mgH_AB+W_T=$\frac{M{v}_{M}^{2}}{2}$-0
代入數(shù)據(jù)解得：W_T=-33J；
答：（1）M下滑至B點時的速度為7m/s．
（2）M由A運動到B的過程細繩對M做的功為-33J．

點評 遇到相互作用的系統(tǒng)問題，若沒有摩擦阻力應用系統(tǒng)機械能守恒定律求解；對“牽連速度”問題，應記住“實際的速度是合速度”和“沿繩子方向的速度相等”的結論．