Question

7．如圖（甲）所示，某粒子源向外放射出一個(gè)α粒子，粒子速度方向與水平成30°角，質(zhì)量為m，電荷量為+q．現(xiàn)讓其從粒子源射出后沿半徑方向射入一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、區(qū)域?yàn)閳A形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（區(qū)域Ⅰ）．經(jīng)該磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，它恰好能夠沿y軸正方向進(jìn)入下方的平行板電容器，并運(yùn)動(dòng)至N板且恰好不會(huì)從N板的小孔P射出電容器．已知平行板電容器與一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形單匝導(dǎo)線框相連，其內(nèi)有垂直框面的磁場(chǎng)（區(qū)域Ⅱ），磁場(chǎng)變化如圖（乙）所示．不計(jì)粒子重力，求：

（1）磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ磁場(chǎng)的方向及α粒子射出粒子源的速度大��；
（2）圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑；
（3）α粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）α粒子不會(huì)從N板的小孔P射出電容器，說(shuō)明在MN板間受到向上的電場(chǎng)力，電場(chǎng)方向向上，N板的電勢(shì)比M板的電勢(shì)高．根據(jù)楞次定律可判斷出區(qū)域Ⅱ內(nèi)磁場(chǎng)的方向．由法拉第電磁感應(yīng)定律求出MN板間的電壓，對(duì)于α粒子在MN板間的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，可求α粒子射出粒子源的速度大小．
（2）α粒子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道半徑，畫(huà)出其運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求解圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑．
（3）在MN板間，α粒子在電場(chǎng)力作用下會(huì)重新回到圓形磁場(chǎng)區(qū)域，根據(jù)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角求解α粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

解答 解：（1）據(jù)題分析知，MN板間的電場(chǎng)方向向上，N板的電勢(shì)比M板的電勢(shì)高，根據(jù)楞次定律可知：磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ的磁場(chǎng)垂直于紙面向外．    
設(shè)正方形線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為U．
根據(jù)法第電磁感應(yīng)定律，得  U=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$S=$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{{t}_{0}}$  ①
α粒子運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)恰好速度為零，對(duì)于在MN板間的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有
  qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$  ②
聯(lián)立①②得 v=$\sqrt{\frac{2q{B}_{0}{L}^{2}}{m{t}_{0}}}$  ③
（2）設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)半徑為r，圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為R．

根據(jù)牛頓第二定律，有
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$  ④
畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖，由幾何關(guān)系可知 tan30°=$\frac{R}{r}$  ⑤
聯(lián)立③④⑤解得 R=$\frac{1}{B}$=$\sqrt{\frac{2m{B}_{0}{L}^{2}}{3q{t}_{0}}}$  
（3）粒子的運(yùn)動(dòng)周期為 T=$\frac{2πr}{v}$     ⑥
粒子在電場(chǎng)力作用下要重新進(jìn)入磁場(chǎng)，故運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t=2×$\frac{60°}{360°}$T       ⑦
聯(lián)立④⑤⑥⑦得 t=$\frac{2πm}{3qB}$
答：
（1）磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ磁場(chǎng)的方向垂直于紙面向外，α粒子射出粒子源的速度大小為$\sqrt{\frac{2q{B}_{0}{L}^{2}}{m{t}_{0}}}$；
（2）圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為$\sqrt{\frac{2m{B}_{0}{L}^{2}}{3q{t}_{0}}}$；
（3）α粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為$\frac{2πm}{3qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是粒子在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)和電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)、電磁感應(yīng)的綜合．磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)常用方法是畫(huà)軌跡，由幾何知識(shí)求半徑．