Question

5．如圖所示，在水平面內有兩根間距為L=1m的足夠長的平行金屬導軌ab，cd，在a，c之間用導線連接一阻值為R=3Ω的電阻，放在金屬導軌ab，cd上的金屬桿質量為m=0.5kg，電阻r=1Ω，與導軌間的動摩擦因數為μ=0.4，金屬桿的中點系一絕緣輕細繩，細繩的另一端通過光滑的定滑輪懸掛一質量為M=1.0kg的重物，磁感應強度為B=2T的勻強磁場與導軌平面垂直，金屬桿運動過程中與導軌接觸良好，g取10m/s²
（1）將重物由靜止釋放，重物將開始做加速運動，若某時刻金屬桿的加速度大小為a=2m/s²，求此時金屬桿運動的速度大小v；
（2）重物最終將勻速下降，若M從靜止到勻速的過程中下降的高度為h=8m，則在此過程中電阻R上產生的焦耳熱是多少？

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感應電動勢，由歐姆定律求出電流，由安培力公式求出安培力與速度的關系式，由牛頓第二定律列式求出速度．
（2）由能量守恒定律求出R上產生的焦耳熱．

解答 解：（1）金屬桿的速度為v時受到的安培力為：
 F=BIL=B$\frac{BLv}{R+r}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$
由牛頓第二定律得：
對M有：Mg-T=Ma
對金屬桿有：T-F-μmg=ma
聯立解得：v=$\frac{[Mg-（M+m）a-μmg]（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{[10-1.5×2-0.4×5]×（3+1）}{{2}^{2}×{1}^{2}}$=5m/s
（2）重物勻速下降的過程中，根據能量守恒得：
  Mgh=Q+μmgh
可得 Q=Mgh-μmgh=10×8-0.4×0.5×10=78J
故在此過程中電阻R上產生的焦耳熱是 Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q=$\frac{3}{3+1}$×78J=58.5J
答：
（1）此時金屬桿運動的速度大小v是5m/s．
（2）在此過程中電阻R上產生的焦耳熱是58.5J．

點評 該題為電磁感應與動力學綜合的問題，解決本題的關鍵推導安培力與速度的表達式，運用隔離法研究．