Question

20．已知地球半徑為R，地球、月球球心之間的距離為r，月球公轉(zhuǎn)的周期為T₁，地球自轉(zhuǎn)周期為T₂，在地球表面附近運(yùn)行的人造衛(wèi)星周期為T₃，萬(wàn)有引力常量為G，由以上條件可知（　�。�

• A． 地球的質(zhì)量為M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$
• B． 地球的密度為ρ=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{3}{{T}_{1}}^{2}}$
• C． 地球表面重力加速度為g=$\frac{4{π}^{2}R}{{{T}_{1}}^{2}}$
• D． 月球運(yùn)動(dòng)的向心加速度為$a=\frac{{4{π^2}r}}{T_1^2}$

Answer 1

分析 研究月球繞地球圓周運(yùn)動(dòng)，利用萬(wàn)有引力提供向心力可求出地球的質(zhì)量．
研究在地球表面附近運(yùn)行的人造衛(wèi)星，利用萬(wàn)有引力提供向心力可表示出地球的質(zhì)量，從而求出密度．

解答 解：A、研究月球繞地球圓周運(yùn)動(dòng)，利用萬(wàn)有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}_{1}^{2}}=ma$…①
M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$，故A錯(cuò)誤．
B、地球的密度為：ρ=$\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}_{1}^{2}{R}^{3}}$，故B錯(cuò)誤．
C、地球表面附近運(yùn)行的人造衛(wèi)星，利用萬(wàn)有引力等于重力，有：$\frac{m′•4{π}^{2}R}{{T}_{3}^{2}}=m′g$
g=$\frac{4{π}^{2}R}{{{T}_{3}}^{2}}$…②，故C錯(cuò)誤．
D、由①得月球運(yùn)動(dòng)的加速度為：$a=\frac{4{π}^{2}r}{{T}_{1}^{2}}$．故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力，注意不同的圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)不同的軌道半徑和周期．
運(yùn)用黃金代換式GM=gR²求出問(wèn)題是考試中常見(jiàn)的方法．