Question

15．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第一象限中，OM是角平分線，OM與+x軸之間存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，OM與+x軸之間存在豎直向下的勻強電場．質(zhì)量為m、電量為q的正點電荷從x軸上的點豎直向上進入磁場，OA=L，不計點電荷的重力．
（1）要使點電荷在磁場中運動的時間最長，求點電荷的速度范圍；
（2）要使點電荷垂直于電場線的方向進入電場且過原點O，求電場強度的大小及離開電場時的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知，在粒子速度很小時，粒子可以從X軸垂直射出，當(dāng)速度逐漸增大時，粒子的運動半徑也隨著增大，當(dāng)其軌跡與OM相切時，速度達到最大，根據(jù)幾何知識求出最大圓周的半徑，再根據(jù)牛頓第二定律求出臨界速度；
（2）根據(jù)題意垂直進入電場，可以求出圓周運動半徑，然后根據(jù)牛頓第二定律求出入射速度，在電場中粒子做類平拋運動且過原點，根據(jù)平拋公式求出加速度大小，再求出電場強度．從剛進入電場到從O點射出電場，根據(jù)動能定理求出離開電場時的速度大小．

解答 解：（1）點電荷的速度較小時，將在磁場中運動半個周期，當(dāng)其軌跡與OM相切時速度最大，此時有：
$r+\sqrt{2}r=L$
根據(jù)牛頓第二定律有：
$q{Bv}_{m}=m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{r}$
得${v}_{m}=\frac{（\sqrt{2}-1）qBL}{m}$
點電荷的速度在0～${v}_{m}=\frac{（\sqrt{2}-1）qBL}{m}$時，時間都最長．
（2）要使點電荷垂直于電場線進入電場，在磁場中運動時的半徑應(yīng)為${r}_{1}=\frac{L}{2}$
根據(jù)牛頓第二定律有：
$qBv=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$
又在電場中做類平拋運動，
r₁=vt，${r}_{1}=\frac{1}{2}{at}^{2}$，$a=\frac{qE}{m}$
聯(lián)立求得$E=\frac{qL{B}^{2}}{m}$
根據(jù)動能定理可得：
$qE{r}_{1}=\frac{1}{2}{{mv}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得${v}_{1}=\frac{\sqrt{5}qBL}{2m}$
答：（1）點電荷的速度范圍為0～${v}_{m}=\frac{（\sqrt{2}-1）qBL}{m}$；
（2）電場強度為$E=\frac{qL{B}^{2}}{m}$，離開電場時的速度大小為${v}_{1}=\frac{\sqrt{5}qBL}{2m}$．

點評 此題是一道典型帶電粒子在電場和磁場中運動的練習(xí)題，粒子在磁場和電場中各運動一段，作此類問題，通過在紙上畫出粒子的運動軌跡，需要我們在題中找到臨界條件解題，這樣讓我們解題更容易．