Question

18．如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立Oxy直角坐標(biāo)系，在x=-$\sqrt{2}$d處有垂直于x軸足夠大的彈性絕緣擋板，y軸左側(cè)和擋板之間存在一勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)與x軸負(fù)方向夾角θ=45°，y軸右側(cè)有一個(gè)有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．在M（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$d、0）處有一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為-q的粒子，以某一初速度沿場(chǎng)強(qiáng)方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)它打到絕緣板上N點(diǎn)時(shí)，粒子沿y軸方向的速度不變，x軸方向速度大小不變、方向反向，一段時(shí)間后，以$\sqrt{2}$v的速度垂直于y軸進(jìn)入磁場(chǎng)，恰好不從磁場(chǎng)右邊界飛出．粒子的重力不計(jì)．
（1）求磁場(chǎng)的寬度L；
（2）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E；
（3）若另一個(gè)同樣的粒子以速度v從M點(diǎn)沿場(chǎng)強(qiáng)方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t第一次從磁場(chǎng)邊界上P點(diǎn)出來，求時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力和臨界條件，由幾何知識(shí)求得圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，即可聯(lián)立方程求解L的大��；
（2）由動(dòng)能定理即可求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（3）先根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后由幾何公式t=$\frac{θ}{2π}$T求出圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，進(jìn)而求得運(yùn)動(dòng)的兩階段的總時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力有：$\sqrt{2}qvB=\frac{m（\sqrt{2}v）^{2}}{R}$
解得：$R=\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$    
粒子剛好不離開磁場(chǎng)的條件為：L=R，即：$L=\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$
（2）如圖，設(shè)粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，將其從N點(diǎn)到A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分別沿著電場(chǎng)線和垂直電場(chǎng)線方向分解，粒子在這兩個(gè)方向上通過的距離分別為h和l，在A點(diǎn)的沿這兩個(gè)方向的速度大小均為v．

沿電場(chǎng)線方向有：$h=\frac{1}{2}×\frac{qE}{m}•{t}^{2}=\frac{vt}{2}$ 
垂直于電場(chǎng)線方向有：l=vt
由幾何關(guān)系有：l+h=2d 
以上各式聯(lián)立得：$E=\frac{3m{v}^{2}}{4qd}$
（3）粒子從M點(diǎn)沿電場(chǎng)線方向向前運(yùn)動(dòng)的距離為s
由v²=2as 得：$s=\frac{{v}^{2}}{2•\frac{qE}{m}}=\frac{2}{3}d＜d$
說明粒子不能打到絕緣板上就要返回，運(yùn)動(dòng)過程如圖

從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率為v′，由v′²-v²=2ad
解得：$v′=\frac{\sqrt{10}}{2}v$
粒子在電場(chǎng)中往返運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{v+v′}{a}=\frac{（4+2\sqrt{10}）d}{3v}$
粒子在磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：$R′=\frac{mv′}{qB}=\frac{\sqrt{10}mv}{2qB}$
因?yàn)镽′（1-cos45°）＜L，所以粒子不會(huì)從磁場(chǎng)右邊界射出．
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：$T=\frac{2πm}{qB}$
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{T}{4}=\frac{πm}{2qB}$
粒子從M點(diǎn)射出到第一次從磁場(chǎng)中出來所經(jīng)過的時(shí)間為
t=t₁+t₂=$\frac{（4+2\sqrt{10}）d}{3v}+\frac{πm}{2qB}$
答：（1）磁場(chǎng)的寬度$\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小是$\frac{3m{v}^{2}}{4qd}$；
（3）時(shí)間是$\frac{（4+2\sqrt{10}）d}{3v}+\frac{πm}{2qB}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中和電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解答的關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后結(jié)合圖象中的幾何關(guān)系，確定軌跡的圓心與半徑，然后結(jié)合牛頓第二定律即可求解．