Question

5．建筑工地上的黃沙堆成圓錐形，而且不管如何堆其角度是不變的．若測出其圓錐底的周長為12.5m，高為1.5m，如圖所示．
（1）試求黃沙之間的動摩擦因數(shù)．（保留2位有效數(shù)字）
（2）若將該黃沙靠墻堆放，占用的場地面積至少為多少？（可用根式表示結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）最上面的黃沙受重力、支持力和靜摩擦力而平衡，靜摩擦力達到最大值，故平衡條件列式求解；
（2）黃沙靠墻堆放的，最多堆成半個圓錐狀，結(jié)合幾何關(guān)系分析即可．

解答 解：（1）沙堆表面上的沙粒受到重力、彈力和摩擦力的作用而靜止，則：
mgsinθ=f
N=mgcosθ
其中：
f=μN
所以：
μ=tanθ=$\frac{h}{R}$=$\frac{2πh}{l}$=$\frac{2×3.14×1.5}{12.5}$≈0.75，
故θ=37°（θ稱為摩擦角）
（2）因為黃沙是靠墻堆放的，只能堆成半個圓錐狀，由于體積不變，θ不變，要使占場地面積最小，則取R_x為最小，所以有h_x=μR_x，根據(jù)體積公式，該堆黃沙的體積為：$V=\frac{1}{3}π{R}^{2}h=\frac{1}{4}π{R}^{3}$，
因為靠墻堆放只能堆成半個圓錐，故$V=\frac{1}{8}π{R}_{x}^{2}$，解得：${R}_{x}=\root{3}{2}R$，占地面積至少為：
${S}_{x}=\frac{1}{2}π{R}_{x}^{2}$=2π$\root{3}{4}$m²≈9.97m²
答：（1）黃沙之間的動摩擦因數(shù)為0.75．
（2）若將該黃沙靠墻堆放，占用的場地面積至少為9.97m²．

點評 本題關(guān)鍵是結(jié)合黃沙恰好不滑動的臨界情況，根據(jù)平衡條件列式分析求解出摩擦角，然后結(jié)合幾何關(guān)系列式分析，不難．